88037 img042 (36)

47

Krokk+ 1, k > 1

Korzystając ze wzoru Taylora, zapisuje się funkcję/(-) w postaci

(3.41)

/M=/(*(*))+-f-    >^{dla xeR}’

^dX *(k)

gdzie r(x, x₍*)) jest resztą wzoru, która ma postać

(3.42)

gdzie 0 < 0 < 1 jest liczbą zależną od x. Następnie przyjmuje się, że w otoczeniu punktu .r..|, w którym poszukuje się pierwiastka danego równania (3.1) funkcję/(') można z wy-siarczającą dokładnością przybliżać funkcją

(3.43)

pomijając we wzorze (3.41) składnik reszty r(x, x_(jt)) jako zaniedbywalnie mały w porównaniu z sumą dwóch pierwszych składników wzoru. Otrzymuje się równanie aproksymujące

(3.44)

którego rozwiązaniem jest

liczbę X(_k+\) otrzymuje się, rozwiązując równanie (3.44) ze względu nax).

Z geometrycznego punktu widzenia X(*+i) jest współrzędną punktu przecięcia stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji/O w punkcie (jc^j,/[•*(£))) z osiąOx (rys. 3.5).

Jeżeli 7(^x(/hi)) ⁼ 0, to X(*+i) jest jednym z pierwiastków danego równania (3.1). Jeżeli nato-

miast yfcf/H-i)) ^ 0, to sprawdza się, czy spełnione są warunki I„/(%+!)) I < § i I X(*+i) -x_w|< s.

Jeżeli warunki te są spełnione, to otrzymana liczba X(_t+1) jest przyjmowana jako przybliżona wartość pewnego pierwiastka danego równania (3.1). W przeciwnym razie realizacja algo-r-tmu jest kontynuowana w następnym kroku.

Ponieważ realizacja algorytmu stycznych może prowadzić do rozbieżnych ciągów uerowanych - zob. rys. 3.6, więc należy podać liczbę dopuszczalnych iteracji, jak też uwzględnić konieczność przerwania wykonania kolejnych kroków algorytmu w przypadku, gdy różnice x_(jt+i) - x_{k) wartości pomiędzy kolejnymi iteracjami zaczynają szybko wzrastać co do wartości bezwzględnej.

Dla rozwiązywanego równania (3.1), w którym funkcja/(-) jest dana wykresem przedstawionym na rys. 3.6, otrzymuje się następujące przykładowe ciągi kolejnych przybliżeń: — dla punktu początkowego x/₀) dla iteracji otrzymuje się ciąg rozbieżny do +°o;