83303 P4250094

Posiać (V.4j lub (V.6) będziemy nazywać uśrednionym jednowymiarowym równaniem ciągłości. Wiąże ono przekrój kanału zmienny wzdłuż osi przepływu ze zmieniającą się wzdłuż osi prędkością i objętością właściwą.

B. Równanie ilości ruchu.

Wydzielmy w kanale rysunku V.l elementarną rurkę prądu określoną przekrojami d/4₀ na wlocie i d/l, na wylocie z kanału, (rys. V.2). Przypomnijmy,

że rurką prądu nazywamy obszar wydzielony z przepływu, ograniczony powierzchnią położoną na liniach prądu, tj. taką powierzchnią, na której wektor prędkości jest zawsze do niej styczny.

Wydzielmy odcinek o długości dx, zapełniony masą czynnika dM. Jeżeli ciśnienie w przekroju dA₀ wynosi p₀, to w odległości dx wynosi ono

dp

P-Po+fo^d*-

Siły pochodzące od ciśnienia działającego na powierzchnię rurki prądu w kierunku prostopadłym do osi znoszą się wzajemnie. Natomiast w kierunku osi rurki prądu na masę czynnika dM działa siła pochodząca z różnicy ciśnień w przekrojach oddalonych o dx oraz siła dR, pochodząca z tarcia między strugami deczy, skierowana przeciwnie do kierunku ruchu.

Bilans sił działających na element rurki prądu wyraża równanie:

M₀Po-dA^p₀+j^dx'j-dR_l=dM^.    (V.7)

dc

Po prawej stronie występuje siła masowa, wyraz — oznacza przyspieszenie elementu masy dM.

Przy płynnie i nieznacznie zmieniającym się przekroju wydzielonej rurki prądu można napisać, że na odcinku długości dx

dA₀»dA,

co wprowadzone do równania (V.7) prowadzi do relacji

(V.8)

—dA~dx—dR_i == dM^f-.

dx    dt

Dzieląc równanie (V.8) obustronnie przez dM i uwzględniając, że elementarna masa

(V.9)

dM — —dA-dx, v

otrzymujemy

(V.10)

gdzie R = (dR_t)/(dM) oznacza silę oporu, odniesioną do jednostki masy przepływającego czynnika.

Zauważmy, że w ogólnym przypadku pochodna zupełna ciśnienia względem czasu w dowolnym punkcie kanału wynosi

dp dp ap dx

dt~ dt ⁺ dx di '

W przypadku przepływu stacjonarnego ciśnienie w określonym punkcie kanału nie zmienia się w czasie

wobec tego

CV.11)

dp dp dx    dp dp

dt dx dt ’    dx    dx

i równanie (V.10) można napisać w postaci:

dc

— vdp—Rdx = —dx, dt

ale dx/dt = c, więc

— vdp—Rdx = ede .

(V.12)

Wzór (V. 12) przedstawia równanie ilości ruchu w przepływie jednowymiarowym i stacjonarnym.

Całkując go na odcinku między przekrojami kontrolnymi 0,1 otrzymujemy

i    Po    Xt

1    f ..    r

-(c?-cg)= J vdp- J Rdx.

*    .    Xo

(V .13)

Lewa strona równania (V.13) oznacza przyrost energii kinetycznej strumienia, prawa — pracę ekspansji gazu pomniejszoną o pracę sił tarcia w przepływie.

Równania (V.12) i (V. 13) wyprowadzono dla rurki prądu, tj. dla elementarnego przekroju kanału dA. Rozszerzenie wywodu na pełny przekrój A₀,A_X wymaga wprowadzenia wartości c,v,p, uśrednionych w danym przekroju.