1. Co to jest model sygnału losowego?

Modelem sygnału losowego jest proces stochastyczny, model zawsze powinien być możliwie prosty.

2.Dlaczego sygnał losowy jest nośnikiem inf. , a deterministyczny nie jest ?

Dla sygnału detrministycznego znamy jego wartość w każdej chwili czasu w przyszłości , jest więc oczywiste ,że taki sygnał taki nie może przenosić informacji. Sygnał losowy natomiast przyjmuje swe wartości pod wpływem inf.

3.Podać zależność na obliczanie iloczynu skalowego w przestrzeni L²(O,T) (sygnałów losowych danych na odcinku 0-T)

4.Scharakteryzować przestrzeń Hilberta.

-metryczna

-zupełną.

-liniowa

-zdefiniowany jest w niej iloczyn skalarny-unitarna

5.Jakim wyrażeniem określony jest ortogonalny, zupełny, trygonometryczny sygnał szeregu Fouriera w przestrzeni L²(O,T)

x(t)=a₀+a_ncos(n₀t)+b_nsin(n₀t))

a₀=1/Tdt,

a_n=2/T
dt,

b_n=2/T
dt

6.Wzór na wartość średnią w przedziale [t₁,t₂] deterministycznego sygnału losowego.

7.Iloczyn skalarny w przestrzeni L²(O,T)

(x,y)=

8.Warunek ortogonalności 2 sygnałów w przestrzeni sygnałów.

Sygnaly sa ortogonalne jeśli ich iloczyn skalarny rowna się zero.

9.Jaki zbiór elementów przestrzeni może stanowić bazę przestrzeni np.Xⁿ

Bazę przestrzeni Xⁿ stanowi zbiór liniowo niezależnych elementów

10. Podać zależnośc na obliczanie iloczynu skalarnego w przestrzeni L₂(sygnałów dyskretnych w nieskonczonym czasie)

(x,y)=y^* (t)dt

11. Co to jest kombinacja liniowa elementów przestrzeni?

,gdzie:

(x₁ ... x_n) -zbior elementow przestrzeni

- zespolony lub rzeczywisty wspólczynnik

12.Twierdzenie o rzucie ortogonalnym.

Niech X będzie przestrzenią unitarną a Xⁿ jej n wymiarową podprzestrzenią rozpiętą na ortonormalnej bazie {x_i:i=1,2..n}. Dla każdego
istnieje jeden jedyny element
określony wyrażeniem
taki, że:

1) dla każdego
gdzie
spełniona jest nierówność:
,

2) element
jest ortogonalny do każdego elementu należącego do Xⁿ

element
nazywany jest rzutem ortogonalnym elementu x na przestrzeń Xⁿ

13. Czym się różnią algorytmy wyznaczania dyskretnej reprezentacji w przypadku bazy ortogonalnej i nieortogonalnej?

Baza ortogonalna- sprowadza się ją procedurą

Grrama- Shmidta do ortonormalnej

Baza nieortogonalna- liczy się wszystkie iloczyny skalarne

14.Podać zależność na obliczanie chwilowej wariancji sygn. deterministycznego

15. Co to jest dyskretna reprezentacja sygnałów w kategorii przestrzeni sygnałów?

Jest to ciąg współczynników {α_i} przy ustalonej bazie {x_i}

17. Z jakich wzorów obliczana jest wartość średnia na przedzaiale [t₁,t₂] det sygnalu ciaglego?

18.Różnica pomiędzy sygnałami ciągłymi, dyskretnymi a cyfrowymi.

sygnal x(t):

-ciągły → t
R i x
R

-dyskretny → t
N i x
R

-cyfrowy → t
N i x
N

19.Podać zależność na obliczanie normy wektora w przestrzeni L² (sygnały dyskretne)

||x|| =

20.Jaki zbiór elementów nazywamy zbiorem liniowo niezależnym?

Zbiór jest zbiorem elementów liniowo niezależnych wtedy i tylko wtedy gdy :

dla każdego i=1,...,n:

gdzie:- kombinacja liniowa elementów przestrzeni.

21. Omówić zagadnienie najlepszej aproksymacji syg. przestrzeni X przez element podprzestrzeni Xⁿ.

Sformułowanie 1:

Niech X będzie przestrzenią unitarną a Xⁿ jej n wymiarową podprzestrzenią rozpiętą na bazie {x_i:i=1,2..n}. Dla danego elementu
należy znaleźć taki ciąg liczb ( rzeczywistych lub zespolonych ) α₁, α_2,..., α_{n dla} którego wartość wyrażenia
jest najmniejsza.

Sformułowanie 2:

Niech X będzie przestrzenią unitarną a Xⁿ jej n wymiarową podprzestrzenią rozpiętą na bazie {x_i:i=1,2..n}. Dla danego elementu
należy znaleźć taki element
dla którego norma elementu różnicowego
jest najmniejsza tzn. dla którego nierówność:
jest spełniona dla każdego
różnego od

Rozwiązanie:

Istnienie w przestrzeni unitarnej iloczynu skalarnego umożliwia proste i efektywne rozwiązanie zagadnienia najlepszej aproksymacji. Rozwiązanie to opiera się na tzw. twierdzeniu o rzucie ortogonalnym.

22. Co to jest realizacja procesu stochastycznego?

23. Podać def. dwuwymiarowej gęstości prawd. procesu stochastycznego

24.Czy gęstośc prawd. jest wielkością zdeterminowaną czy tez losową?

Jest deterministyczna.

27.Scharakteryzować przestrzeń unitarną

- definiowany jest iloczyn skalarny

• zachodzi
  
  

28.Dlaczego przy odwracaniu dyskretnej repr. sygn. nie jest konieczne odwracanie macierzy, gdy baza jest ortogonalna?

Ponieważ macierz [A] jest macierzą jednostkową przy bazie ortogonalnej

29.Do czego służy procedura Gramma-Shmidta?

Służy do sprowadzenia bazy nieortonormalnej do ortonormalnej.

30. Jaką przestrzeń nazywamy przestrzenią zupełną?

Przestrzen zupełna to przestrzen, ktorej granica należy do ciagu.

31.co to jest norma elementu przestrzeni sygnalow, podac przykład.

Jest przyporządkowaniem każdemu elementowi

x
X liczby z IR

np.

||x||=

32.Podać przykład zbioru ortogonalnego zupełnego.

Zbiór nazywamy ortogonalnym zupełnym gdy nie istnieje element nie nalezacy do tej przestrzeni, który jest ortogonalny do kazdego element tej przestrzeni. np.:

L₂(0,T)

33. Z ilu elementow sklada się baza przestrzeni Xⁿ

z n-liniowo niezaleznych elementow

34.Co to jest proces losowy?

Jest to rzeczywisty lub zespolony proces stochastyczny i model sygnalu losowego.

35. Z jakiego wzoru obliczona jest energia sygnalu dyskretnego nieskonczonego w czasie?

E=

36.Podać def. sygnalu okresowego.

Sygnal nazywamy okresowym gdy wartosci chwilowe powtarzaja się w jednakowych odstepach czasu f(t)=f(t+nT), gdzie T -okres

38.Scharakteryzowac przestrzen L²

Przestrzen L² jest przestrzenia

-sygnalow dyskretnych

-calkowalnych z kwadratem

-zupelna.

-nieskonczona,

39.Róznica pomiedzy dyskretna a ciagla reprezentacja sygnalu.

Dyskretna reprezentacja sygnaly jest przyblizeniem sygnalu X szeregiem
,natomiast dla ciaglej reprezentacji sygnalow przyporzadkowuje się reprezentacje rzeczywistej lub urojonej trans. Fouriera.

40.Wady reprezentacji sygn. Z przestrzeni X przez element podprzestrzeni Xⁿ

• wiele roznych sygnalow może mieć te sama reprezentacje

• wektor bledu może być wiekszy niż reprezentacja

41.Podac def. dwuwymiarowej

dystrybuanty procesu stochastycznego

Dwumiarowa dystrybuanta procesu stochastycznego mowi o prawdopodobienstwie yego, ze sygnal x(t) jest w chwili t₁ mniejszy bądź rowny x₁ i jednoczesnie w t₂
x₂

F(x₁,x₂,x₃,x₄)=P{x(t₁)
x₁ , x(t₂)
x₁₂ }

42.Podać def. funkcji autokowariancji procesu ciąglego( ogólno- i dla procesu stacjonarnego)

Autokowariancja procesu ciąglego:

-ogolna - jest to funkcja autokorelacji po usunieciu skladowych stalych:

Dla procesu stacjonarnego:

(chyba)

43. Czy funkcja autokorelacji procesu jest wielkoscia deterministyczna czy losowa?

Funkcja autokorelacji procesu jest wartoscia zdeterminowana.

44.Jaki proces nazywamy ergodycznym?

Proces jest erodyczny, jeżeli usrednienie po czasie jest rowne usrednieniu po zbiorze; jeżeli z prawdopodobienstwem 1 możemy na podstawie jednej realizacji wyznaczyc wszystkie statystyki.

45.Jak zdefiniowana jest widmowa gestosc mocy i jakie informacje informacje o procesie zawiera?

Mowi o energii niesionej przez poszczególne skladowe widma sygnalu.

48. Kiedy funkcja autokorelacji procesu jest funkcja tylko jednego czasu.

Gdy układ jest „słabo stacjonarny”.

49. Podać def. autokorelacji sygn. determ.

R_xx

52. Co to jest stacjonarność słaba?

Gdy funkcja autokorelacji dla szerokiej klasy procesów nie jest funkcją dwóch zmiennych t_1, t₂, lecz tylko funkcją ich różnicy =t₂- t₁ i równocześnie wartość oczekiwana E{x(t)} jest niezależna od czasu, to proces nazywamy stacjonarnym w „szerszym sensie”(lub słabo stacjonarnym).Wówczas

R_X(t_1, t₂) = R_X(t, t+)=R_X( i zachodzą (dla procesów rzeczywistych i zespolonych)relacje: R_X(0)= E{|x(t)|²}>0, |R_X()|R_X(0).

53. Czy widmowa gęstość mocy może przyjmowac ujemne wartości?( udowodnic)

Tak.

TW: Widmo gęstości mocy sygnału jest nieujemną funkcją zmiennej ω.D-d. Załóżmy przeciwnie, że istnieje taki punkt, że . Istnieje wówczas otoczenie (,) punktutakie, że każdego punktu ω tego otoczenia jest dla nieujemne. Podajmy sygnał x(t) na wejście idealnego filtru środkowoprzepustowego o charakterystyce filtracji
,

gdzie

.Widmo gęstości mocy sygnału y(t) na wyjściu tego filtru jest wówczas równe
i jest ujemne dla każdego (,).Wynika stąd ,że moc sygnału wyjściowego y(t)

jest ujemna. Ponieważ z definicji moc sygnału jest wielkością nieujemną, otrzymujemy sprzeczność. Tym samym, na zasadzie dowodu nie wprost teza tw. została udowodniona.

56. Czy funkcja korelacji wzajemnej dwoch procesow jest wielkoscia losowa czy tez deterministyczna?

Deterministyczna.

57.Kiedy o procesie mowimy, ze jest scisle stacjonarny?

Proces jest ściśle stacjonarny jeżeli przesunięcie punktu zerowego nie oddziałuje na jego rozkład prawdopodobieństwa.

58.Jak zdefiniowana jest wartość średnia procesu? Czy jest ona funkcja czasu?

Wartością średnią (oczekiwaną) (t) nazywamy nielosową funkcję czasu, której wartość w punkcie t_i jest równa wartości oczekiwanej _i(t) zmiennej losowej dla każdej chwili czasu t_i , (t)=E{x(t)}=f(x,t)dx

gdy proces jest stacjonarny to wartość średnia nie zależy od czasu.

59.Jakie warunki spełnia układ liniowy?

x(t) L y(t)

L{a₁x₁(t)+ a₂x₂(t)}= a₁L{x₁(t)}+ a₂L{x₂(t)}

60.Podać zależność pomiędzy widmową gęstością mocy sygnału na wej. i na wyj układu liniowego.

Widmowa gęstość mocy na wej/ wyj:

S_YY()=H()H()S_XX()=|H()|²S_XX()

S_YY()-na wyjściu, S_XX()-na wejściu

H()-transmitancja częstotliwościowa układu.

61.Własności funkcji autokorelacji procesu losowego rzeczywistego.

funkcja autokorelacji:

- jest funkcją parzystą R(τ)=R(-τ)

-ma globalne max w zerze R(0)=R(τ)

-wartość w zerze jest wartością średniokwadratową procesu

62.Własności funkcji korelacji wzajemnej procesów losowych rzeczywistych

R_xy(-τ)= R_yx(τ)

R_xy(τ)= 0
R_yx(τ)=0

R_xy(τ)=E{y(t)x(t+τ)}

63.Co to jest wzajemna widmowa gęstość mocy?

Gęstość widmowa wzajemna: S_XY=FT{R_XY()}=e^{- j}d , odwrotna:

R_XY=FT^-1{S_XY(w)}

zawiera inf. O energii niesionej przez poszczególne składowe.

65. Co to jest szum bialy?

Szum biały jest to sygnał fluktuacyjny, idealnie szerokopasmowy, o stałej widmowej gęstości mocy. Jest on fizycznie nie realizowalny.

66.Jakie są istotne różnice pomiędzy dyskretną reprezentacja sygnalu deterministycznego i sygnalu losowego?

Zasadnicza różnicą między reprezantacjami dyskretnymi sygnałów deterministycznych i syg. Losowych jest to, że w przypadku syg. Stochastycznych poszukuje się odwzorowania danej przestrzeni sygnałów stochastycznych nie w ciągi liczbowe, ale w ciągi zmiennych losowych, tzn. w przestrzeń Γⁿ lub w przestrzeń .

67. W kategoriach przestrzeni sygnałów zdefiniować znany ci wspólczynnik korelacji miedzy dwoma sygnalami.

68.Jak zdefiniowana jest wariancja procesu i czy jest ona funkcja czasu.

Definicja wariancji procesu;

σ^_(t)= E{[x(t)-(t)]²} , jeżeli proces jest stacjonarny to wariancja takiego procesu nie zależy od czasu.

71.Czym jest przekrój procesu stochastycznego po czasie?

Jest jednowymiarową zmienną losową.

75.Jaką postać ma korelacja wzajemna procesów x(t) i y(t)=x(t)+ax(t+0)?

76. Dla jakiego procesu wartość średnia nie jest funkcją czasu?

Dla procesu stacjonarnego.

77.czy wariancja procesu jest wielkością losową czy deterministyczną?

Deterministyczną.

78.Kiedy wariancja procesu nie zależy od czasu?

Dla procesu stacjonarnego.

79.Podaj definicje korelacji wzajemnej pomiedzy sygnalami deterministycznymi.

80.Jaką postać ma autokorelacja procesu

y(t)=x(t)+ax(t+0)?

81. Jakie sa konsekwencje tego,ze proces stochastyczny jest ergodyczny, w odniesieniu do wyznaczenia statystyk procesu.

• z prawdopodobienstwem 1 możemy wyznaczyc wszystkie cechy probabilistyczne procesu stochastycznego na podstawie jednej realizacji

• uśrednienie po czasie jest rowne usrednieniu po zbiorze

82.Czy widmowa gęstość mocy jest procesu losowego jest wielkością losową czy tez zdeterminowana?

83. Podaj zaleznosc pomiedzy funkcja autokorelacji procesu a jego widmowa gestoscia mocy.

84.Na czym polega zjawisko aliasingu?

Aliasing- polega na zachodzeniu wzajemnie na siebie fragmentów widma sygnału, powielanego na skutek próbkowania, jeśli okres próbkowania jest zbyt duży, lub sygnał nie jest ściśle dolnoprzepustowy. Powoduje niemożliwość jednoczesnego odtworzenia sygnału x(t) z próbek x(n).

85.Czy gestosc prawd procesu jest wielkoscia zdeterminowana czy losowa?

Zdeterminowana.

87.Def. autokorelacji sygnalu deterministycznego.

88.Podobienstwa i roznice miedzyzmienna losowa a procesem stochastycznym.

Podstawową różnicą pomiędzy procesem stochastycznym a zmienną losową jest taka, że proces stochastyczny jest funkcją dwóch zmiennych x(t,ζ), z których jedna określa czas - t, a druga zbiór możliwych wyników - ζ. Proces stochastyczny jest uogólnieniem zmiennej losowej, gdyż może reprezentować jedną z czterech rzeczy:

---rodzinę funkcji czasu (t zmienne i ζ zmienne)

---tylko funkcję czasu (ζ stałe)

---zmienną losową (t stałe)

---tylko liczbę (t stałe ζ stałe)

Z powyższego widać, że zmienna losowa wyrażona zapisem x(ζ), gdzie ζ jest zbiorem wyników pewnego doświadczenia losowego, jest szczególnym przypadkiem procesu stochastycznego.

89.Zrodla bledow probkowania.

Źródła błędów próbkowania:

-niedolnopasmowość sygnału próbkowanego,

-błąd próbki, -błąd drżenia fazy- wynika z nieregularności próbkowania- ważny dla sygnałów szybkozmiennych,

-błąd próbkowania naturalnego- wynika z czasu potrzebnego na ładowanie kondensatora w przetworniku A/C.

90.Czy na podstawie sprobkowanego i skwantowanego sygnalu można odtworzyc sygnal ciagly? Jak?

Tak. Stosujac filtr.

91Roznica we wlasciwosciach transformaty Fouriera sygnalu ciaglego okresowego a sygnalu dyskretnego okresowego i sygnalu dyskretnego nieokresowego.

sygnal	Widmo
Ciagly okresowy	Dyskretne nieokresowe
Dyskretny okresowy	Dyskretne okresowe
Dyskretny nieokreswy	Ciagle okresowe

93. Jakie właściwości funkcji trygonometrycznych wykorzystywane sa przy opracowaniu algorytmow szybkich transformat Fouriera?

• parzystosc i nieparzystosc

• okresowosc

• deterministycznosc

• symetria widm

97.Jaki jest cel stosowania filtrow antyaliasingowych i jakie powinny one spelniac warunki?

Stosuje soe je przed probkowaniem sygnalu w celu ograniczenia jego widma i unikniecia bledow probkowania wynikajacych z niedolmopasmowosci sygnalu.Filtr taki powinien mieć mozliwie plaska ch-ke w pasmie przepustowym i waska strefe przejsciowa.

98 Zrodlo szumu kwantowania.

Szum kwantowania powstaje w wyniku skończonej rozdzielczości przetwornika, dobrze jest jak pracuje się w całym zakresie (na wszystkich bitach przetwornika) Źródłem szumu kwantowania są również różnice pomiędzy amplitudami sygnału przed i po kwantyzacji, gdyż przypisujemy im jedną wartość przybliżoną i nie możliwe jest dokładne odtworzenie sygnału.

100. Z czego wynika , ze szybkie algorytmy obliczania transformaty Fouriera sa szybsze od obliczania wprost z def.

Bo licza transformate najpierw dla parzystych , pozniej dla nieparzystych prazkow i je dodaja-mniej operacji mnozenia i dodawania.

102. Jaka jest roznica miedzy filtrami IIR a FIR

FIR - o skonczonej odpowiedzi impulsowej- podajemy sygnal o skonczonym czasie trwania otrzymujemy sygn. o skonczonej odpowiedzi

IIR- o nieskonczonej odp.impul- reakcja nieograniczona, ograniczone pobudzenie

103. Kiedy wystepuje problem estymacji statystyk procesu stochastycznego?

Problem estymacji procesu stochastycznego występuje gdy własności zmiennej losowej (sygnału losowego) nie mogą być dokładnie określone na podstawie znajomości próbek sygnału. Na podstawie skończonego zbioru obserwacji (próbek sygnału) możliwe jest tylko oszacowanie (estymacja) interesujących parametrów zmiennej losowej.

107.Omow metode Cooley'a-Tukey'a estymacji widma sygnalu

---