1. Sygnał prawie okresowy- można go aproksymować dowolnie dokładnie wielomianem trygonometrycznym

2. metryka - utożsamiana z pojęciem odległości w przestrzeni.

Aksjomaty ρ(x1,x2)=0 x1=x2; ρ(x1,x2)=ρ(x2,x1) symetria ρ(x1,x2)+ρ(x2,x3)≥ρ(x1,x3) warunek trójkąta

Przestrzeń metryczna - przestrzeń na której określona jest metryka

3. Ciąg Cauchego - ciąg elementów przestrzeni dla którego odległość między kolejnymi dwoma wyrazami ponumerowanymi coraz wyzej dazy do zera. Każdy ciąg zbiezny jest Cauchego.

4. Przestrzen zupelna - jeśli w przestrzeni każdy ciag cauchego ma granice tj zbiezny w sensie metryki i granica ta jest elementem tej przestrzeni to przestrzeń ta jest przestrzenia zupelną.

5. Przestrzen liniowa - zdefiniowane sa operacje dodawania i mnozenia przez skalar.

Aksjomaty

X+y=y+x - przemiennosc dodawania

(X+y)+z=x+(y+z) łączność dodawania

a(x+y) = aX+aY liniowość

6. Przestrzen Banacha - liniowa, unormowana,zupełna

7. Równość Parsevala
x²

7. Jeśli X jest przestrzenią Hilberta x∈X zbiór zupełny wektorów bazowych (x1,x2,....,xn) to wtedy szereg
   jest szeregiem Fouriera a ai są współczynnikami

Energia sygnału jest równa energii jego reprezentacji.

8. Transformata Fouriera:

• Współczynnik korelacji (unormowany)

unormowana funkcja korelacji uwzględnia przesunięcie wzajemne sygnałów

10. Autokorealcja sygnału deterministycznego.

Rxx(τ)=R(τ)=

γ(τ)=
- współczynnik autokorelacji

11. Funkcja autokorelacji procesu - określa związek między procesami w dwóch chwilach czasu

R(t1,t2)=E{x(t1),x(t2)}

8. Warunek ortogalnosci dwóch sygnałow w przestrzeni.

Dwa sygnały sa ortogonalne jeżeli ich iloczyn skalarny = 0 (x,y)=0 lub Rxy(t1,t2)=0 korelacja wzajemna =0

9. Zbiór liniowo niezalezny.

Jest to zbior w którym każdy z elementów jest liniowo niezalezny od pozostalych.

3.Twierdzenie o rzucie ortogonalnym. (przedstawienie sygnału X w przestrzeni X^N

Przedstawienie to będzie najlepsze dla danej przestrzeni gdy nastąpi rzut ortogonalny wektora X na przestrzen Xn (najmniejszy bląd ε)

4.Jak zdefiniowana jest wariancja procesu i czy jest funkcją czasu.

5. Podać ogólną definicje funkcji autokowariancji procesu ciągłego i podać oznaczenia oznaczen.

Cxy(t1,t2)=E{[x1(t1)-η(t1)][x2(t2)-η(t2)]}=Rxy(t1,t1)-η(t1)η(t2)

Dla procesu stacjonarnego. C(t1,t2) = C(τ)= R(τ)-η²

6.Właściwości funkcji korelacji wzajemnej rzeczywistego procesu stacjonarnego.

7. Czy widmowa gęstość mocy może przyjmowac wartości ujemne? Uzasadnij.

8. Na czym polega próbkowanie sygnału, matematyczny zapis próbkowania. Twierdzenie o próbkowaniu.

Próbkowanie - pobieranie w ustalonych odstępach czasu rzędnych funkcji w taki sposób aby ciąg próbek był mozliwie najwierniejszym odtworzeniem całego przebiegu funkcji.

Xp(t) = x(t) + δ(t)

Twierdzenie.

Sygnał ściśle dolnopasmowy o częstotliwości granicznej fg jest jednoznacznie określony jezeli częstotliwośc próbkowania jest większa lub równa 2fg.

9. Zródła błędów probkowania.

-niedolnopasmowosc sygnału próbkowania

-błąd próbki

-błąd drżenia fazy - wynika z nieregularności próbkowania - ważny dla sygnałów szybkozmiennych

-błąd próbkowania naturalnego - wynika z czasu potrzebnego na ładowanie kond. w przetworniku AC

10. Napisać równanie różnicowe liniowe.

Równanie opisuje własciwości dynamiczne układu w dziedzinie czasu. Wiąze sygnał wyjściowy y(n) z wejściowym x(n)

W ogónej postaci
ak,bk współczynniki przechowywane w pamięci filtru cyfrowego.

11. Co jest modelem sygnału losowego.

Modelem jest rzeczywista lub zespolony proces stochastyczny. Modelem sygnału stochastycznego może być szczególny rodzaj procesu stochastycznego okreslony tylko w jednej chwili- zmienna losowa.

12 Wzór na wartość średnią (oczekiwaną) procesu w chwili t

η(t)=E{x(t)} =

13.Iloczyn skalarny w przestrzeni.

14 wzór na ortogonalny zupełny trygon. Szereg Fouriera w przestrzeni L²(0,T)

x(t)=a_o+

15.Jaki zbiór elementów przestrzeni może stanowic bazę przestrzeni (np. Xn)

Każdy co najwyzej n-elementowy zbiór elementów liniowo niezaleznych przestrzeni X.

16. Co to jest dyskretna reprezentacja sygnału w kategoriach przestrzeni sygnałow.

Zagadnienie sprowadza się do aproksymacji a wiec do przyblizenia sygnalu x szeriem typu
gdzie xi i=1...n są ustalonymi funkcjami oraz ai sa liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi bedacymi reprezentacją sygnału.

17. Do czego słuzy procedura Gramma Schmidta.

Procedura służy do sprowadzania bazy nieortonormalnej do ortonormalnej.

18. Definicja autokorelacji sygnału detetministycznego.

R(τ)=

19. co to jest realizacja procesu stochastycznego

Proces stoch. Jest funkcją dwóch zmiennych e∈E i t∈T przyporządkujaca każdemu zdarzeniu elementarnemu e i każdemu punktowi t liczbe rzeczywistą ξ(e,t). Jeżeli ustalimy zdarzenie elementarne e należące do zbioru zdarzen elementarnych E to mamy do czynienia ze zwykłą detministyczną funkcja czasu. Funkcję tą będziemy nazywać realizacja procesu stochastycznego i oznaczac przez x.

20. przestrzen Hilberta. Jest to przestrzeń unitarna jeśli jako przestrzen metryczna jest przestrzenią . Zupełną.

21.W kategorii przestrzeni sygnałów zdefiniować znany ci współczynnik korelacji między dwoma sygnałami.

α12=(V1,V2) α21=(V2,V1) α=
0<=α<=1 dążymy do tego aby α12=α21

22. Definicja 2 - wymiarowej dystrybuanty procesu stochastycznego.

F(x1,x2,t1,t2) = P{x(t1)
≤x1, x(t2)≤x2}

23 Definicja 2-wymiarowej gęstości prawdop.

f(x1,x2,t1,t2)=

24. Czy gęstość prawdopodobięństwa procesu jest wielkością zdeterminowaną czy losową

25. Czy funkcja autokorelacji procesu jest wielkością deterministyczną czy losową.

26. Właściwości funkcji autokorelacji rzeczywistego procesu stochastycznego.

-f.parzysta R(τ)=R(-τ)

-wartość dla τ=0 jest równa wartości sredniokwadratowej sygnału

- dla każdego

• dla kazdego τ spełnione są nierówności wynikające z nierówności Schwarza R(τ)≤R(0) (max funkcji przypada w 0)

27. Kiedy proces jest stacjonarny.

Proces losowy nazywamy stacjonarnym jeżeli wszystkie jego rozkłady niezależne od przesunięć po osi czasu tzn. od położenia początku układu współrzędnych.

Proces losowy nazywamy stacjonarnym rzędu n jeżeli dla każdego ciągu t1...tn i każdego przesunięcia τ spełniony jest warunek f1..n(x1...xn,t1...tn) = f1..n(x1...xn,t1-τ...tn-τ)

Proces losowy nazywamy stacjonarnym w szerszym sensie (słabo stacjonarnym ) jeżeli η(t)= η oraz R(t1,t2)=R(

28.Kiedy proces jest całkowicie stacjonarny.

Proces jest całkowicie (scisle) stacjonarny jeśli przesunięcie punktu zerowego nie wpływa na jego rozkład.

29. jaki proces nazywamy ergodycznym.

-proces stochastyczny jest ergodyczny jeśli z prawd. 1 można wyznaczyc wszystkie jego cechy probabilistyczne na podstawie jednej realizacji procesu.

• jeśli usrednienie po czasie jest równowazne usrednieniu po zbiorze

30. Jak zdefiniowana jest wzajemna widmowa gęstość mocy.

31. Definicja widmowej gęstości mocy i jakie info. Zawiera.

S(ω)=FT{R(τ)}=
Zawiera informację o energii niesionej przez poszczególne składowe widma sygnału.

32. Wartością średnią (oczekiwaną)
ξ(t) nazywamy nielosowa funkcję czasu ξ(t) której wartość w punkcie t jest równa wartości oczekiwanej ξ zmiennej losowej ξ dla każdej chwili t ξ(t) =

33. Na czym polega kwantowanie sygnału.

Kwantowanie polega na podziale zbioru wartości na podzbiory Δx∈X oraz zastąpienie każdego z podzbioru liczbą stałą xi zawartą w tym przedziale Xq =q*ent(x/q+1/2) - wartości kwantowania.

34. Na czym polega zjawisko aliasingu.

Aliasing polega na zachodzeniu wzajemnie na siebie fragmentów widma sygnału, powielonego na skutek próbkowania, jeśli okres próbkowania jest zbyt duży , lub sygnał nie jest ściśle dolnopasmowy.

Powoduje niemożnośc jednoznacznego odtworzenia sygnału x(t) z próbek x(n).

35. Cel stosowania filtrów antyaliasingowych i jakie powinny one spełniać warunki.

Filtry te stosuje się przed próbkowaniem sygnału w celu ograniczenia jego widma i unikniecia błędu próbkowania wynikającego z niedolnopasmowości sygnału. Powinien mieć możliwie stałą charakterystykę w paśmie przepustowym i wąska strefę przejsciową.

Cyfrowe - próbkujemy sygnał ze znacznie większą częstotliwością (np. 5razy) wtedy stosujemy filtracje cyfrową (filtr o czest 20kHz) a następnie odtwarzamy co 5 próbke

36. Źródło szumu kwantowania.

Szum kwantowania powstaje w wyniku skończonej rozdzielczości przetwornika.

37. Podać zależność na splot dyskretny.

38. Zależność między widmową gęstością mocy sygnału na we i wy układu liniowego.

Syy(w)=k(w)*k(w)*Sxx(w)

k(w) - transmitancja częstotliwościowa układu.

39. jakie własności funkcji tryg. Wykorzystywane są przy opracowywaniu algorytmów FFT.

Symetria i okresowość funkcji sin i cos.

40. Dlaczego w algorytmie FFT liczba próbek musi być potęgą liczby 2.

Liczba próbek musi być N=2^n ze względu na to ze w algorytmach wyznaczenia FFT (np. z podziałem czasowym) obliczenia przeprowadza się az do otrzymania transformat 2- punktowych. Taki podział możliwy jest tylko w przypadku gdy długość ciągu próbek jest równa 2^n. Wszystkie obliczenia mają postać obliczeń motylkowych odpowiadających w zasadzie 2-punktowej dyskretnej transformacie Fouriera.

41. Czym charakteryzuje się układ minimalnofazowy.

Wszystkie zera i bieguny układu znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego.

42. Jakie warunki (w dziedzinie Z) spełnia transmitancja układu stabilnego.

Wszystkie bieguny znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego. Z<=1

43. Jaka jest różnica pomiędzy filtrami SOI i NOI

odpowiedź impulsowa filtru SOI ma ograniczony czas trwania tzn. y(n)=0 dla n>N

Jego transmitancja
jest wielomianem którego współczynniki określają odpowiedź impulsową. Odpowiedź obliczamy jako splot
. Ze względu na brak biegunów filtry SOI są zawsze stabilne.

Transmitancja układu NOI jest zawsze funkcją wymierną. Bieguny muszą leżeć wewnątrz okręgu jednostkowego. Na położenie zer nie ma żadnych ograniczeń.

Przestrzeń ze zdefiniowanym iloczynem skalarnym to przestrzeń unitarna.

44. Omów wariancje estymatora?

45. Na czym polegaja optymalizacyjne metody projektowania filtrów cyfrowych.

Polegają na takim doborze transmitancji (czyli ogólnie parametrów) filtrów , aby uzyskać jak najmniejsze założone odchylenia od idealnych charakterystyk

• nierównomierności ch-ki

• stromości zbocza

• poziomu listków bocznych

46. Różnica we właściwościach transformaty Fouriera sygnału ciągłego okresowego a sygnału ciągłego nieokresowego.

• dyskretna i nieokresowa

• ciągła nieokresowa

47. Zmiana charakterystyk po przejsciu przez układ.

• uklady liniowe - opisane za pomocą jednej odpowiedzi imp. Całka splotowa

• układy nieliniowe - układ opisany za pomocą specjalnej metody

• u,inercyjne związane z chwilą przeszłą

Rozkłady gęstości i prawd. nie zmieniaja się po przejściu przez układ liniowy (mogą jedynie zmieniać swe parametry)

48. Autokorelacja sumy sygnałów.

Rzz(τ)=E{[x(t)+y(t)][x(t+τ)+y(t+τ)]}=Rxx()+Rxy()+Ryx()+Ryy()

Autokorelacja sumy nie jest równa sumie korelacji sygnałów (wchodzą jeszcze korelacje wzajemne) Jedynie dla sygnałów nieskolerowanych (ortogonalnych)

---