Ćwiczenie 3
Wyznaczanie czasu zderzenia kul sprężystych.
Przygotował: Michał Kruminia - Łozowski
Wydział: ETI
Kierunek: Automatyka-Robotyka inż.
W ćwiczeniu należy:
1. Wyznaczyć czas zderzenia kul o jednakowych masach i prędkościach.
2. Wyznaczyć czas zderzenia kul o różnych masach i prędkościach.
3. Wyznaczyć parametry zderzenia oraz .
4. Wyznaczyć wartość stałej materiałowej .
5. Dla otrzymanych wyników przeprowadzić dyskusję błędów pomiaru czasu.
Wiadomości wstępne:
Czasem zderzenia spręystego kul nazywamy czas jaki upływa pomiędzy ich zetknięciem, a rozdzieleniem. Czas zderzenia jednakowych kul opisany jest wzorem:
W przypadku zdarzenia kul o różnych masach wzór ten przyjmuje postać:
w której w miejsce masy m podstawiono podwójną masę zredukowaną otrzymaną ze wzoru:
Do pomiaru czasu wykorzystane zostało zjawisko rozładowania kondensatora przez oporność rzeczywistą. Podszas rozładowywania napięcie między okładkami kondensatora zmienia się wykładniczo z szybkością zależną od stałej czasowej obwodu, czyli iloczynu oporności R i pojemności C. Czas obliczamy przkształcając wzór:
do postaci:
Podczas zderzenia kule ulegają odkształceniom. Wielkość odkształcenia można wyznaczyć rozpatrując ruch środków mas kul podczas zderzenia. Jest to ruch o zmiennym przyspieszeniu. Zakładając, że zachodzi równość otrzymuje się następujące związki na maksymalne zbliżenie środków i maksymalną siłę :
Względną prędkość kul przed zderzeniem wyznaczamy ze wzoru:
Opisane tymi wzorami parametry są wartościami przybliżonymi z uwagi na złożoność przebiegu zderzenia.
Przebieg pomiarów.
Schemat przyrządu pomiarowego jest pokazany na poniższych rysunkach:
Wyłącznik k1 służy do przyłączenia kondensatora do źródła ładującego i odłączenia go po naładowaniu. Dwa elektromagnesy E sterowane kluczem k pozwalają na jednoczesne puszczenie w ruch kul i zatrzymanie ich po zderzeniu. Każda z kul zaczyna swój ruch z punktu położonego o x wyżej niż miejsce zderzenia, przy czym:
.
Wyniki pomiarów.
Dla wszystkich zestawów kul wartości C i R były stałe:
C = 0,0001 [F]
R = 8 [Ω]
Kule duże.
Masa kuli: m = 4 [kg]
Kąt: α = ∏/12
Odległość środka masy od osi obrotu: l = 0,285 [m]
Otrzymane wyniki:
Nr pomiaru |
Uo [V] |
U [V] |
1 |
8,5 |
6,5 |
2 |
8,5 |
6,5 |
3 |
9,0 |
7,0 |
4 |
9,0 |
7,0 |
5 |
8,5 |
7,0 |
6 |
9,0 |
7,0 |
7 |
9,0 |
7,0 |
8 |
8,5 |
6,5 |
9 |
9,0 |
7,0 |
10 |
9,0 |
7,0 |
11 |
8,5 |
6,5 |
12 |
9,0 |
7,0 |
13 |
9,0 |
7,0 |
14 |
9,0 |
7,0 |
15 |
9,0 |
7,0 |
16 |
9,0 |
7,0 |
17 |
9,0 |
6,5 |
18 |
9,0 |
6,5 |
19 |
9,0 |
6,5 |
20 |
9,0 |
7,0 |
t = 0,0002153 ± 0,0000004 [s]
xm = 0,000001047 [m]
Fm = 445,9223 [N]
χm = 0,000000000759
Przykładowe obliczenia:
t=RCln(U0/U)
Za U0 i U podstawiamy wartości średnie otrzymane ze wzorów:
U0=(∑ U0i)/20 oraz U=(∑ Ui)/20
t=8*0,0001*ln(8,9/6,8)=0,0008*ln(1,308823529...)=0,0008*0,269128664...=0,000215302...
t=0,0002153 [s]
Średni błąd wyniku otrzymujemy ze wzoru:
Jest on równy: 4,15E-07 [s]
Stąd:
t=0,0002153 ± 0,0000004 [s]
xm = τ*2*(2gl(1-cosα))^(1/2)/∏
Po podstawieniu:
xm = 0,0002153*0,01528/3,141592654=0,000001047 [m]
Podobne obliczenia wykonujemy dla Fm i χm:
Fm = ∏Vwμ/τ
Fm = 3,141592654*0,01528*2/0,0002153=445,9223 [N]
Fm = 445,9223 [N]
Kule średnie.
Masa kuli: m = 1,43 [kg]
Kąt: α = ∏/9
Odległość środka masy od osi obrotu: l = 0,3 [m]
Otrzymane wyniki:
Nr pomiaru |
Uo [V] |
U [V] |
1 |
8,5 |
7,0 |
2 |
8,5 |
7,0 |
3 |
8,5 |
7,0 |
4 |
9,0 |
7,5 |
5 |
9,0 |
7,5 |
t = 0,0001514 ± 0,000024 [s]
xm = 0,00000101 [m]
Fm = 310,1374 [N]
χm = 0,0000000056
Kule małe.
Masa kuli: m = 0,89 [kg]
Kąt: α = ∏/7,2
Odległość środka masy od osi obrotu: l = 0,295 [m]
Otrzymane wyniki:
Nr pomiaru |
Uo [V] |
U [V] |
1 |
8,5 |
7,5 |
2 |
8,5 |
7,5 |
3 |
9,0 |
7,5 |
4 |
9,0 |
7,5 |
5 |
8,5 |
7,5 |
t = 0,0001187 ± 0,000024 [s]
xm = 0,000000979 [m]
Fm = 305,0665 [N]
χm = 0,0000000153
Kule złote.
Masa kuli: m = 0,1,57 [kg]
Kąt: α = ∏/9
Odległość środka masy od osi obrotu: l = 0,3 [m]
Otrzymane wyniki:
Nr pomiaru |
Uo [V] |
U [V] |
1 |
8,5 |
7,5 |
2 |
8,5 |
7,5 |
3 |
8,5 |
7,5 |
4 |
8,5 |
7,0 |
5 |
8,5 |
7,0 |
t = 0,0001218 ± 0,000024 [s]
xm = 0,00000081012 [m]
Fm = 423,4047 [N]
χm = 0,00000000391
Kule różne.
Masa kuli nr 1: m1 = 2,3 [kg]
Masa kuli nr 2: m2 = 4 [kg]
Kąt: α1 = ∏/9
Kąt: α2 = ∏/12
Odległość środka masy od osi obrotu: l1 = l2 = 0,29 [m]
Otrzymane wyniki:
Nr pomiaru |
Uo [V] |
U [V] |
1 |
8,5 |
6,5 |
2 |
8,5 |
6,5 |
3 |
8,5 |
6,5 |
4 |
8,5 |
7,0 |
5 |
8,5 |
7,0 |
t = 0,0001904 ± 0,000024 [s]
xm = 0,00000109 [m]
Fm = 433,3701 [N]
χm = 0,00000000165