Podejmowanie decyzji w warunkach
niepewności i ryzyka

Niepewność to stan kiedy nie znamy prawdopodobieństwa (nie możemy go przewidzieć ani się domyśleć) stanów natury. Ryzyko występuje gdy prawdopodobieństwo stanów natury jest znane.

Problem podejmowania decyzji w dużej mierze zależy od ilości informacji posiadanych przez decydenta, często nazywanego graczem, niezbędnych w procesie wyboru najlepszego wariantu. Można ten problem podzielić na:

• podejmowanie decyzji w warunkach pewności - pewność dotyczy tego jaki będzie wynik w zależności od podjętych przez gracza decyzji. Podejmowaniem decyzji w warunkach pewności jest np. zagadnienie produkcyjne, diety, transportowe i przydziału bo wiemy co się stanie kiedy podejmiemy jakąś decyzję, a naszym zadaniem jest znalezienie decyzji najlepszej,

• podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka - w grze występuje drugi gracz którego decyzje są opisane przez znany rozkład prawdopodobieństwa,

• podejmowanie decyzji w warunkach niepewności - w grze występuje drugi, zupełnie nieprzewidywalny, gracz zwany naturą.

Przy analizowaniu poszczególnych zadań proszę zwracać uwagę na kierunek zadania. Nie zawsze dużo znaczy dobrze. Warto więc przed rozpoczęciem jakichkolwiek obliczeń ustalić czy zadanie będzie minimalizowane czy maksymalizowane.

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności.

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka to gra w której występuje świadomy gracz, podejmujący racjonalne decyzje oraz natura, czyli gracz nieświadomy. Nie jest znany (ani w żaden sposób nie potrafimy go oszacować) rozkład prawdopodobieństwa zachowań gracza nieświadomego. Jest on całkowicie nieprzewidywalny. Należy wskazać decyzję, która przy określonych kryteriach będzie satysfakcjonowała gracza świadomego.

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności charakteryzuje się najmniejszą ilością informacji jakie posiada gracz świadomy. W związku z tym kryteria jakimi można się posługiwać są kryteriami słabymi, dyskusyjnymi. Niestety nie można zastosować niepodważalnych narzędzi ze względu na brak informacji. Do podjęcia decyzji wykorzystuje się jedno z pięciu kryteriów:

• optymisty - uznawane za kryterium najbardziej ryzykowne, charakterystyczne dla osób o skrajnie niskiej awersji do ryzyka (gotowych podjąć wszelkie ryzyko żeby tylko osiągnąć duże zyski),

• pesymisty - uznawane za kryterium charakterystyczne dla osób o największej awersji do ryzyka (osób które uciekają od jakiegokolwiek ryzyka),

• Laplace'a (wartości średniej),

• Hurwicza - to kryterium łączy w sobie trzy wcześniejsze kryteria. Występuje w nim współczynnik optymizmu, czyli stała z przedziału [0; 1]. Gdy przyjmuje on wartość 0 kryterium jest tożsame z kryterium pesymisty, dla 1 - z kryterium optymisty, a dla 0,5, w wielu wypadkach - z kryterium Laplace'a

• Niehansa-Savage'a (utraconych szans).

Przykład 1

Masz nadmiar gotówki i chcesz go ulokować tak, aby mieć z tego największe korzyści. Po sprawdzeniu wszystkich ewentualności zbudowałeś tabelę zawierającą realne stopy zysku z różnych inwestycji przy różnych stanach inflacji :

Stany natury		Wybory
				„skarpeta”	bank	akcje	obligacje
		inflacja 5%	-5%	3%	4%	3%
		inflacja 8%	-8%	2%	7%	3%
		inflacja 12%	-12%	4%	0%	3%

Wybory zdominowane

Jeżeli któraś z możliwości wyboru jest zawsze gorsza od innej to znaczy, że jest przez nią zdominowana i powinna zostać usunięta przed zastosowaniem któregoś z poniższych kryteriów.

W tym zdaniu trzymanie pieniędzy w „skarpecie” jest dla każdego stanu natury gorsze od wszystkich pozostałych wyborów, w związku z tym powinno być usunięte z rozważań.

Stany natury		Wybory
				bank	akcje	obligacje
		inflacja 5%	3%	4%	3%
		inflacja 8%	2%	7%	3%
		inflacja 12%	4%	0%	3%

Kryteria podejmowania decyzji:

Każde z poniższych kryteriów jest stosowane oddzielnie i przy podejmowaniu decyzji nie łączy się ich. Wybór kryterium zależy od osobistych preferencji decydenta.

Kryterium optymisty

Optymista wybiera najlepszą możliwość dla każdej decyzji i z tych najlepszych wybiera najlepszą:

bank - 4%

akcje - 7%

obligacje - 3%

Najlepsza wartość to 7%, więc należy wybrać inwestycję w akcje.

Kryterium pesymisty

Pesymista wybiera najgorszą możliwość dla każdej decyzji i z tych najgorszych wybiera najlepszą:

bank - 2%

akcje - 0%

obligacje - 3%

Najlepsza wartość to 3%, więc należy wybrać inwestycję w obligacje.

Kryterium Laplace'a (kryterium wartości średniej)

Dla każdej możliwości wyboru należy obliczyć średnią, a następnie wybrać najlepszą z nich

bank - 3%

akcje - 3,66%

obligacje - 3%

Najlepsza wartość to 3,66%, więc należy wybrać inwestycję w akcje

Kryterium Hurwicza

a - najlepsza wartość dla danego wyboru

b - najgorsza wartość dla danego wyboru

Dla każdej możliwości wyboru należy obliczyć wyrażenie:

(Ai) = a + (1-)b

( jest współczynnikiem optymizmu i jest zwykle dobierane na drodze doświadczalnej)

następnie z pośród nich wybrać najlepsze (dla =0,2):

bank - 2,4%

akcje - 1,4%

obligacje - 3%

Najlepsza wartość to 3%, więc należy wybrać inwestycję w obligacje.

Kryteria Niehansa - Savage'a (kryterium utraconych szans)

Dla każdego stanu natury wybieramy wartość najlepszą i od niej odejmujemy wszystkie wartości dla tego stanu natury

acza nieświadomego, czyli rozkład prawdopodobieństwa stanów hgfksdfskjdskdfksjdfskjdfkjsdksjdfkjsdskjdsjkdsjkdfkjsdsjkdksjdksjdnatury.Stany natury		Wybory
				bank	akcje	obligacje
		inflacja 5%	1%	0%	1%
		inflacja 8%	5%	0%	4%
		inflacja 12%	0%	4%	1%

Tabela zawiera utracone, czyli zyski których nie uzyskamy jeżeli nastąpi wybrany stan natury.

Do wyboru najmniejszej straty należy zastosować kryterium pesymisty:

bank - 5%

akcje - 4%

obligacje - 4%

Najlepsza wartość to 4%, więc należy wybrać inwestycję w akcje lub obligacje.

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka to gra w której występuje świadomy gracz, podejmujący racjonalne decyzje oraz natura, czyli gracz nieświadomy. Znany jest również rozkład prawdopodobieństwa zachowań gracza nieświadomego, czyli rozkład prawdopodobieństwa stanów natury. Należy wskazać decyzję, która przy określonych kryteriach będzie satysfakcjonowała gracza świadomego.

Należy pamiętać, że stany natury występujące w zadaniu muszą być wszystkimi możliwymi, spodziewanymi stanami natury. Wnioskiem z tego jest to, że suma prawdopodobieństw wszystkich stanów natury musi być równa 1.

Znajomość rozkładu prawdopodobieństwa stanów natury odróżnia podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka od podejmowania decyzji w warunkach niepewności. W chwili poznania rozkładu prawdopodobieństwa stanów natury tracą zastosowanie kryteria związane z podejmowaniem decyzji w warunkach niepewności i są zastępowane przez znacznie mocniejsze, oparte o rachunek prawdopodobieństwa, kryteria: kryterium wartości oczekiwanej, odchylenia standardowego i największej wiarygodności.

W kryterium wartości oczekiwanej na podstawie podanego prawdopodobieństwa oblicza się wartość oczekiwaną ze wzoru:

E(X)=Σx_i⋅p_i

Wybierany jest ten wariant inwestycyjny który daje najkorzystniejszą wartość oczekiwaną. Proszę pamiętać, że wartość oczekiwana może różnić się od wartości jakie występują w zadaniu, nie można więc stwierdzić, że wybiera się dany wariant „bo uzyska się wynik taki jak w wartości oczekiwanej”. Być może takiego wyniku w ogóle nie da się uzyskać! Wartość oczekiwana jest tylko pewną odmianą wartości przeciętnej.

Kryterium odchylenia standardowego. Odchylenie standardowe jest miarą rozproszenia, a to jest utożsamiane z ryzykiem. Im większe rozproszenie tym większe jest ryzyko związane z doświadczeniem. W przypadku gdy wszystkie spodziewane wyniki są identyczne, rozproszenie jest równe 0 (niema rozproszenia) i jednocześnie niema ryzyka. Z góry wiemy jaki będzie wynik. Wynika z tego że zawsze będziemy wybierali taki wariant który ma mniejsze rozproszenie. W tym wypadku mierzone odchyleniem standardowym.

Charakterystyczne jest, że kryterium odchylenia nigdy nie występuje samodzielnie. Nikt z nas nie wybiera inwestycji o małym ryzyku. Ryzyko ma znaczenie dopiero wtedy, gdy spodziewany wynik doświadczenia dla dwóch wariantów jest taki sam. Jeżeli inwestycja w banku i w akcje na giełdzie przynosi ten sam spodziewany wynik to zaczyna się liczyć ryzyko związane z inwestycja na giełdzie. Dlatego Kryterium odchylenia standardowego jest kryterium uzupełniającym do kryterium wartości oczekiwanej. Jeżeli kryterium wartości oczekiwanej nie daje rozstrzygnięcia (są dwa najlepsze wyniki) to wtedy wybiera się ten wariant, który ma mniejsze odchylenie standardowe, czyli ryzyko.

Kryterium największej wiarygodności jest najprostszym z kryteriów podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Zakłada się, że powinien zajść ten stan natury który ma największe prawdopodobieństwo. Założenie to jest grubym uproszczeniem, ale powoduje, że wybór decyzji staje się bardzo prosty. Decyzje podejmuje się wyłącznie na podstawie danych dla stanu natury z najwyższym prawdopodobieństwem. Czyli wybieramy stan natury dla którego prawdopodobieństwo jest największe, a potem decyzję dla której jest najlepsza wartość w tym stanie natury.

W praktyce bardzo często nie liczy się odchylenia standardowego ponieważ nie interesuje nas jego wartość ale możliwość znalezienia najmniejszego rozproszenia. Jeżeli wybór najmniejszego rozproszenia nie budzi wątpliwości to liczenie odchyleń standardowych nie jest niezbędne.

Przykład 2

Treść taka sama jak w przykładzie 1 tylko znamy rozkład prawdopodobieństwa wystąpienia określonej inflacji:

P (5%) = 0,3, P(8%) = 0,5, P(12%)=0,2. Proszę podjąć decyzję o inwestycji.

Stany natury		Wybory
				bank	akcje	obligacje	Prawdopod.
		inflacja 5%	3%	4%	3%	0,3
		inflacja 8%	2%	7%	3%	0,5
		inflacja 12%	4%	0%	3%	0,2

Kryteria podejmowania decyzji

Jest jedno kryterium podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Jest nim kryterium wartości oczekiwanej. Jeżeli ono nie daje rozstrzygnięcia należy zastosować kryterium dodatkowe: kryterium odchylenia standardowego.

Kryterium wartości oczekiwanej

Dla każdego wyboru (inwestycji) należy obliczyć wartość oczekiwaną stopy zwrotu, a następnie wybrać najlepszą:

bank - 2,7%

akcje - 4,7%

obligacje - 3%

Najlepsza wartość to 4,7%, więc należy wybrać inwestycje w akcje.

Kryterium odchylenia standardowego (najmniejszego ryzyka)

Jeżeli dwie (lub więcej) inwestycje mają tę samą najlepszą wartość oczekiwaną stopy zwrotu należy policzyć dla każdej z tych inwestycji odchylenie standardowe. Inwestycja o mniejszym odchyleniu (mniejszym ryzyku) powinna być wybrana.

W praktyce wystarczy ocenić, która inwestycja ma bardziej skoncentrowane wartości stopu zwrotu i tę wybrać.

---