057(1)

281. v = (1 — la sin y)sin rp

280. u = —=-(l —n ln x) n

Obiiczyć z dokładnością do 0,01 różniczki funkcji:

282.    y = a(1 -j-.x)(I —a:), dla x = —10 i dx = 0,1

._ . 1

283. z = x | x²-\- 5 , dla x = 2 i dx = ~y

284. r = ę>-|- 0?²+ l)arc tg q>, dla q> = —i dtp = 0,2

2sin2x—3cos2a ,,    ...    .

285. v —----3^-, dla x — 0 i dx = —0,03

286.    Obliczyć przybliżoną wartość funkcji y — a⁷—3x⁴+4a³—2 w punkcie a = 1,002, wychodząc z jej wartości w punkcie a = 1 i zastępując przyrost funkcji przez różniczkę¹’.

287.    Obliczyć przybliżoną wartość tg 44°56', wychodząc z wartości funkcji y — tgA dla a = 45° i zastępując przyrost funkcji różniczką.

288.    Obliczyć przybliżoną wartość arc cos 0,4993, wychodząc z wartości

funkcji y = arc cos a dla a = 0,5 i zastępując przyrost funkcji różniczką. »

289.    Obliczyć wartość przybliżoną ln 1,01.

290.    Obliczyć wartość przybliżoną { 31.

§ 14. Funkcja wektorowa argumentu skalaraego i jej różniczkowanie. Styczna

do krzywej przestrzennej

Wektor r nazywa się funkcją wektorową argumentu skalarnego t, jetell każdej z rozpatrywanych wartości liczbowych t odpowiada określona wartość r (tzn. określona długość i określony kierunek wektora r).

Jeżeli początek wektora r = r(t) stale znajduje się w początku O układu współrzędnych, czyli gdy wektor r(t) jest wektorem wodzącym OM, to wraz ze zmianą t ruchomy koniec M wektora zakreśla pewną krzywą, nazywaną hodografem tego wektora.

Przy rozkładzie wektora wodzącego r(t) w układzie współrzędnych prostokątnych, w którym wektor r ma postać r = xi-ryj+zk²\ jego rzuty ¹

Ą, = x(t), r_v = y(t), r_z = z(t) pokrywają się ze współrzędnymi jego końca M(x, y, z), a układ równań x = ¹(?)> y — >’(0> ^z = ^z(0 stanowi parametryczny zapis hodografu wektora.

Pochodną funkcji wektorowej r(t) nazywamy granicę lim ~ ; jest ona

Al-¹o

oznaczana przez ^ albo przez r, albo też przez r'.

Reguły różniczkowania (obliczania pochodnej) funkcji wektorowej r(t) są analogiczne do reguł różniczkowania funkcyj skalarnych:

c' = 0; c—wektor stały (ri±r₂)' = r[±/₂ (ruf = r'u-{-ru'

W szczególności, jeżeli r = xi+yj+zk, to r = xi-\-yj-\-żk. Wektor r skierowany jest wzdłuż stycznej do hodografu w ektora r.

Jeżeli wektor r(t) zmienia śię tylko co do kierunku, to jego hodograf przedstawia Unię leżącą na sferze o promieniu R=r i o środku w początku układu, zaś wektor r jest prostopadły do wektora r. Natomiast, gdy we! tor r(t) zmienia się tylko co do modułu, to jego hodograf przedstawia prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, a wektor i- skierowany jest wzdłuż tej prostej.

Każdą krzyw ą możemy uważać na hodograf wektora wodzącego punktu bieżącego M(x, y, z) tej krzywej. Jeśli więc równania x = x(t), y — y(t), z = z(t) są równaniami parametrycznymi krzywej, a A/₀(.r₀, >’₀₍ z₀) jest punktem tej krzywej, to prosta styczna do krzywej w punkcie M₀ jest określona równaniami

x—x_n = y~yo ₌ z-z₀

*o    j’o    ^zo

a płaszczyzna normalna (prostopadła do stycznej) wyznaczona jest równaniem

(x - Xo)i₀-H>—Jo)i^o+ (z- ^zo)^zo = 0    (2)

291. Napisać równania stycznej oraz płaszczyzny normalnej do krzywych:

1)    x = t³, y/= t², z = t w punkcie, w którym / = — 1

2)    x = j’², y — z² w punkcie, w którym z = 2

117

1

W zad. 286—290 wc wszystkich obliczeniach zachować cztery znaki po przecinku. ’■) i,j, k —jednostkowe wektory osi współrzędnych (wersory).