068(1)

3) lim (tgip-sec«/) = lim-

sin^i₌ii_m_cosv. ₌₀

COS (p

— sin rp

I 1 x \    .. x— 1—;

-l-xlnx .. —In x

= liiii —

In x

lll x-

x-l

xlnx    I + lnx_

— — lim—.---7--r = —lim ,-r- — —

xlnx+x —1    2-|-mx

Zastosowaliśmy tutaj regułę de 1’Hospitala dwukrotnie.

5) lim

i---)

,..,o |smt t ]

t—sin f

lim —:—- = lim

: lim

t sin t sin f

2 cos t—t sin t

1—cos t sin t-\-t cos t

= 0

Również i tutaj zastosowaliśmy regułę de 1’Hospitala dwukrotnie. Wyznaczyć granice:

321. lim cos 3* tg 5x    322. lim |ctg Ą- -cosec y

x-y —    '    '

323. lim xV		324. lim ctg x ln (x f«^I)
x -0		JT-.O
325. lim ( ; —	L-\ IX^7-^1) #•	326. lim sin (2x -1) tg nx
\x^5 —1		1 ^X~*T
327. lim (ctg <p —	-M	328*. lim (cosec^2/—4 cosec^22r)
9-0 \		/ >0

c. Przypadki wyznaczania granicy:

5)    — kiedy funkcja jest potęgą o podstawie dążącej do jedności i o wykładniku dążącym do nieskończoności;

6)    oo° — kiedy funkcja jest potęgą o podstawie dążącej do nieskończoności i o wykładniku dążącym do zera;

7)    o° — kiedy funkcja jest potęgą, której podstawa i wykładnik dążą do

zera.

Te przypadki wyznaczania granicy także sprowadzamy do przypadków i_ub~, w następujący sposób: daną funkcję logarytmujcmy i znajdujemy

granicę jej logarytmu, a następnie, gdy znamy granicę logarytmu funkcji, wyznaczamy granicę samej funkcji.

329. Wyznaczyć granice:

1) lim (tg x)^te2j:    2) lim (In*)¹

K    X > + 00

x2-L

4) lim x

a:->1

Rozwiązanie. 1) Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek 1“, logarytmujemy funkcję i szukamy granicy jej logarytmu

2x

a = lim (tg x)*^e

ln a = lim ln (tg _v)^{tg 2v} — lim tg 2x ■ In tg x = lim

ln tg x

ctg 2x

Sprowadziliśmy tu poszukiwanie granicy do przypadku -g-. Stosując regułę dc 1’Hospitala, otrzymamy

: (-2 cosec² 2x) I —

ln a -- lim

^r scc².v tgx

»]-

Znając już granicę logarytmu funkcji znajdujemy poszukiwaną granicę

a - e

2) Po ustaleniu, że zachodzi przypadek co⁰, obliczamy granicę logarytmu funkcji

r n    i    r ^ln (^ln x)

a = hm (In x)    Ina = hin — —-

x->-+oo    x-*A- co X

Otrzymaliśmy przypadek * . Stosujemy regułę de 1’Hospitala

ln a = lim {—— : 1) = O * >+*> \* lnx /

skąd wynika, że poszukiwana granica a = c° = 1.

6 ln x

3) Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek 0°, wyznaczamy granicę _ 6

lim x^I+21nx ln a = lim _ . a- h o    *->+o 1+2 m x

..    U

a

139