88422 S6300978

Ponadto

'X

i 1

lim g(x) = lim fxj sin nx ——-lim (A: — 1) sin 7xx = (fc — i) . ₍

p_fr.

lim    = lim [xj sin nx ======= lim fcsin ttx = k ■ 0 = 0

z—»x"*"    —_»*+    X—»fc +

¹ *0    ^{x x}0

Zatem funkcja <7 jest ciągła także w punkcie io i w konsekwencji w punktach Ostatecznie funkcja g jest ciągła na R.

I*⁶

typ¹

c)

Stf

Nieciągłości funkcji

Przykład 3.5

Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach-

dla x Ig 0, dla x = 0,

\/l + x — 1

a) /(*) =

+ x dla

d

0

x₀ = 0;

f x sin--cos — dla

c) /*(x) — < x    x

I 0    dla x — 0,

b) g(x) = < |x - 2|

l ¹    dla X :

x₀ = 2;

jf dla_I<0,

d) p(x) =    1 dla x = 0,

1

xq = 0;

x

Xq = 0.

dla x > 0,

4

Rozwiązanie

Funkcja / jest nieciągła w punkcie xo, jeżeli jej granica w tym punkcie nie istnieje albc istnieje, ale jest różna od wartości / (xo). Funkcja ma w punkcie nieciągłość pierwszego rodzaju typu „luka”, jeżeli w tym punkcie ma granicę właściwą, ale różną od jej wartości Funkcja ma w punkcie nieciągłość pierwszego rodzaju typu „skok”, jeżeli w tym punkcie ma granice jednostronne właściwe i są one różne. Nieciągłość funkcji w punkcie jest drugiego rodzaju, gdy w tym punkcie co najmniej jedna z granic jednostronnych funkcji nie istnieje lub jest niewłaściwa.

a) Mamy /(0) = 0 oraz

lim }{x) = lim -■-* ^X ~ ¹ = i.

Zatem funkcja / ma w punkcie xo = 0 nieciągłość pierwszego rodzaju typu duka b) Mamy g(2) = 1. Ponadto

lim g(x) = lim (——+ x } lim (-1 + x) = 1

x—2-    x—*2“ \JX — 2J J    x — 2~

oraz

lim g(x) = lim (~~    === lim (1 + x) - *^ł

*-2+*^v '    *-,2+ \ |x - 2| y *-2-*