3582334012

GRANICE

lim(n sin< lAi))** 1. n-*»

lim(a^l*>=l. a><X n-»«>

lim(n‘*)-1. n-*»

linKn!¹ ")=«». n-Ko

lim(a")-l. a>l. n-*oo

lim(a*) -O. |a|<l. n-*oo

licn(    n->»

lim(x sin(lAc))=l. x->0

lim(cos(L*))=l.x-»°°

lim(e7x“ )=<•>. x->»

lim(fc>ve‘)-0, x-*»

lim( l*(aii))*=e'. n->°°

lim(sinx/x)-l. x-*0

Różniczkowanie & całkowanie (wzory)

f(xo)=lim((l(xo+Ax)-f(xo)yAx), Ax-»0

(x*)‘=nx*¹

(Vxy=-Vx^>, x*0

(Vx)-l7(2Vx). x>0

(sinx)-cosx

(cosx)--sinx

(lgx)‘-1 ♦lg^,x= l/cos^

(clgx)'^ - l-clg^^-iysin^

(arcanx)^lA(l-xO

(arccosx)'=-lA(l-xO

(arctgx)'-l/(l*x^J)

(arcclgx)^,=-l>(l+x⁷)

(lnx)'=lAc, x>0

(log.x)‘ l/(x Ina) (l/x) log.e, a>0, a*l, x>0

(a*)-a' Ina, a>0

(e*)-e‘

(fg)=fg*|g-(IAj)=(rg.|g'Mg^,.g#0 |g(0r-oX0 r

|x*dx=(x* Va+l)+C. a*-l, x>0; fa’dx=a7lna*C

Cale. prze/ c/ęści: Ju V=u v-Ju'v

Objętość bryły powstałej / obroni wykresu wokół

osi ox: P=n Jf(x)dx;

Pole pow. bocznej lej bryły: P_k=2Tl |l(x>V(l+ (r(x))0dx;

Długość wykresu. l=K(l+(r(x))0dx (wszystkie catki oznaczone w pr/ed/iale ab >);

Kadmach luawdupudobicmłwj Piawa dr Morgana: (AuB)'"A'nB'; (AnB)'"A'uB' Klasyczna definicja prawdopodobieństwa A cii =» P(A) (moc A)'(moc Ił)

Aksjomatyczna def P< A)>0. A.Bell. A i B wykluczają się P(Ai_dł)=P(A)*P(B). P(ft)=l => P(A) lo prawdop. zdarzenia A

Własności P(0)=Q; AcB => P(A)śP(BX P(A)S1; P(A) l PfAj P(AczB)*P(A)»P(B)-P<AnB) Permulacje (ustawienia) ilość wszystkich perm zbioni n-elementowego P„-n!

Kombinacje (podzbiory): n-elemeniowe kombinacje ze zbioni n-elementowego • G*=(n po k)=n'/[(n-k)' k']

Wariacje z powtórzeniami (ciągi): n-elrmentowe wariacje z powtórzeniami o wartościach ze zbioru m-elementowego = m*.

Wariacje bez powiórzeń (ciągi, w których elementy si( powtarzają) = (m po n)

Prawdop wanmkowr: P(A|B)=P(AnB)/P(B) • zdarzenie A. pod watimkirm. że zajdzie B. A. Bell P(B)>0

Prawdop calcowile Bi. B.\.... łk-dł.

B.uB-ci szB»=a BnB,-0. inj. i.J=1.2...n

=»P(A)=P(A|B₁>P(B,)*P(A|B_;)P(BJ*

*P(A|B.)P(B.)

Wzór Bayessa: P<BJA>=CP(AiB.) P(B,)J/

[P(A!B,) P(B,)»P(A!BJ P(B,)* ‘P(A!B.)P(B.)). założenia - jak wyżej

Zdarzenia A i B są niezależne (A.Bcft) gdy P(AnB)=P(A) P(B). jeśli A i B są niezależne, to A i B‘ tez są niezależne

Niezależność N zdarzeń: 4 zdarzenia (A.B.C.D) są niezależne, gdy wszystkie pary (A i B. A i C A i D. B i C...) są niezależne, wszystkie trójki są niezależne (A i B i C A i B i D. A i C i D. B i C i D) i P(AnBnCnD)-P(A)P(B)P(C)P(DX ilość warników dla n zdarzeń: (n po 2Xn po 3).. (n po n^Z-n-1: Schemat Bernoulliego W schemacie N prób BemoulL ptawdopod P 4k) otrzymania dokładnie k sukcesów wyraża się wzorem Ps(k)=(N pok) p^k q^,<*. gdzie p - prawdopodobieństwo sidccesu. q • prawd porażki (p»q-l)

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego: Jeżeli (N*l)p«C to największa k«<(N* l)p. Jeżeli (N* l)|>c C lo najb prawdopodobne są wartości (N*l)p-1 i (N*l)p (ich prawdop. są równe)

ćmimiid toumd przyjmuje wartościrzeczywiste. to fnikcja określona na 11

Rozkładem zmienne) losowej "X" nazy wamy zbiór par {(x. p X 1=1.2—.n). x, - wartość zmiennej losowej, p, - prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa przyjmuje wartość x,

Wartość oczekiwała (nadzieja matematyczna) zmiennej losowej: EX=Xipi+x.p.:-’-...+X4i* własności: E(cX)=cEX. ccR. EM. I • finki ja tożsamościowo równa 1. EJ= 1 p_t» 1 p.*...* 1 p.= l; jeśli X i Y to zmienne losowe określone na lej samej 11 to E(X*Y) EX*EY

Wartość oczekiwaia liczby sukcesów w schemacie N ptób Bernoulliego EX=N p Wariaicja zmiennej losowej (rozrzut)

D^;X =E(X-EX)ⁱ=EX-(EX)^J

Gdy X Jest zmienną losową o tozkładzie X: {(x.pj.

l“l,2...Ji>. to X^ł(cX )“CⁱD*’X. D^JX-0 <=» zmienia

losowa X jest f stalą X :{(xl)ł

W schemacie N ptób Betnoulbego: D‘Ss=Npq

WIELOMIANY

W(x )= a»*a «x*a^cⁱ*... ♦ jux*

Tw. Be zaui

liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(xX gdy wielomian W(x) jest podzieliły przez dwumian (x-r). W(t)= O (istnieje wielomian Q(x) i W(x)=Q(x) (x-r)); Jeśli W(.\) nie jest podzieliły przez dwumiai (x-r), to reszta z dzielenia jesi tówua watości wielomianu dla liczby r

TWIERDZENIE O PIERW, wymiernych Jeżeb wielomian VV(x) o współcz. całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego p/q (NWD(p.q)=l). to pjesł dzielnikiem wyrazu wolnego (a,). a q jest dzielnikiem wyrazu przy najsyyższe potędze zmiennej (a.X WIELOMIAN W(A): reszta z dzielenia przez (x*a)=W(a)i wolny wyraz = W(0); suma współczymiików W( 1)

ŚREDMA

n-wyrazowy ciąg. ai.a>....,a^R

śr. arytmetyczna A(a,.ą_ł.....<)=(a,»a_ł+...-»ą.Vń

Śr geomenyczna: G(ai.ai....a.)=(ai-a.-... a.)¹*

Śr hatmnuczna: Hfai.a;. . .ad^::n/l(l/alMl/a:)«...

*(l/*.))

Tw. Cauchye'go: H(ai,ai .a.) SG(ai.a_A...,a.)S A(a:,a.-.....aj • równość zachodzitylkowiedy. gdy

Inne ciekawe wzory l/(n(nM))-l/n-l/(n-l)

1^2*3^ *n'=iKn* 1X2i* l)/6 (aMi^a-bHa-^ab*^')

(a’»b j (a*bXa^;-ab-b-) x*=e^,h*

Wątłość i liczb niewymiernych

s'2*1.41 v3= 1.73 sS-224 n6=245 v7=265 V 10=3,16

V    11=3.32 V13=261 Vl7=<12

V    19-4.36 V23-4.80 2”-1.26

3”-1.44 4^l1=1.59 2* *=1.19 3**=L32 e=2718    n<U42

log2 0.30 log3 0.48 bgS 0.70 loge=0.43 ki2=0.69 h3=1.10 ln5-1.61 ki 10=230 log.-3= 1.58