5466967419

35. Obliczyć granicę

lim f²    -■ dx.

n—+oo J_Q s/l+x

f f    dxdy _ ^ 1

JJ(o, i)x(o, i) l-xy    ^n²

36. Wykazać, :

(0, l)x(0,1)

37.    Zbadać, czy funkcja f(x,y) =    jest całkowalna na kwadracie (0, 1) x (0, 1).

38.    Wykazać, że

lim /⁺°° ^dx = 0 • n—»+oo    xⁿ+!

39. Podać przykład funkcji ciągłej na przedziale [a, 6], która jest nieróżniczkowalna tylko w jednym punkcie przedziału (a, b) i nie spełnia tezy twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej.

40. Niech f(x) = x + 2sin(ln (l/x)) dla x > 1. Wykazać, że |/(x) — f(y)\ < 3|x - y\ dla wszystkich x,y> 1.

41.    Funkcja ciągła /: [0, 1] —> R jest różniczkowalna na (0, 1], przy czym istnieje skończona granica lim_a._,₀+ f'(^x)- Wykazać, że / ma pochodną prawostronną w zerze.

42.    Wykazać, że funkcje f(x) = ln (1 + x) i g(x) = 2x/(2 + x) spełniają nierówność

f(x) > g{x) dla x > 0.

43.    Wykazać, że 1 + xln (x + \/l + x²) > \/l + x² dla wszystkich x € M.

44.    Udowodnić, że odwzorowanie $ : [0,+oo) —> R, 4>(x) = ln(x + 2), ma dokładnie jeden punkt stały a > 0. Wykazać, że dla dowolnego xo > 0 ciąg zadany wzorem rekurencyjnym x_n+i = ln (x_n + 2) jest zbieżny do a.

45.    Udowodnić, że dla liczb dodatnich a i b, takich, że a+b — 1, zachodzą nierówności o³+6³ > |, a⁴ + b⁴ > |.

46.    Korzystając z wklęsłości odpowiedniej funkcji udowodnić nierówność Younga

x^p y^q    11

xy <--1- — dla x, y, p, q > 0, —I— = 1.

p    q    p q

Następnie udowodnić nierówność Hóldera:

n    / ⁿ \ i/p / ⁷¹    \ 1/9    i i

Y,xiVi< (E4J (Ywij ^dla xi,Vi,p,q>o,- + - = i.

47.    Udowodnić, że jeśli 0 < p < 1, to dla dowolnych x, y € R zachodzi

\x\^p + \y\^p > |x + y\^p .

48. Wykazać, że ciąg

n    n    n    , „

o._n :— —x-« + 7^5-^ + ■ • • H—q-y,    n — 1,2,...

I² + n² 2² + n²    n² + n²

ma granicę równą 7t/4.

Wskazówka. Ciąg a_n jest ciągiem sum całkowych pewnej funkcji /: [0,1] —> R.

4