10 (30)

181

Różniczkowanie

F(x₀+h)-F(xo)-BXh = g(y₀4 k)-g(y₀)-fMh = B(k-.4h)+v(k) = Bu(h)4-v(k). Wobec tego z (22) i (23) wynika przy h # 0, że

|F(x₀+h)-F(x₀)—B>4h|    , 1

-----    _|h|    — < m\m+ [Mll + e(h)]>_?(k).

Jeżeli h-»0, to e(h)-»0, a także na mocy (23) k-»0, więc też #7(k) —*• 0. Wynika stąd, że F'(x₀) — = BA, co należało wykazać.

9.16. POCHODNE cząstkowe. Będziemy w dalszym ciągu zajmowali się funkcją f odwzorowującą otwarty podzbiór £ c R"w R^m. Niech {e_r,..., e„) i {uj,..., u_m} będą bazami standardowymi R" i R^m. Składowymi odwzorowania f nazywamy funkcje J\,... ,f_m określone przez

(24)    f(x) = Y    <^x e E),

i= 1

lub równoważnie przez/(x) = f(x) u„ 1 < i ^ m.

Dla x e E, 1 < i < m, 1 < j $ n określmy

(25)

r—0    t

o ile ta granica istnieje. Pisząc f{x_u..., x„) zamiast f(x) widzimy, że Djf i jest pochodną fi względem Xj przy ustalonych pozostałych zmiennych. Zapis

(26)

8xj

jest często używany w zastępstwie Djf. Djf nazywamy pochodną cząstkową. W licznych przypadkach, kiedy dla funkcji jednej zmiennej wystarcza samo istnienie pochodnej, dla funkcji wielu zmiennych potrzebne jest założenie ciągłości lub co najmniej ograniczoności pochodnych cząstkowych. Dla przykładu funkcje fi g opisane w zadaniu 7 z rozdziału 4 nie są ciągłe, chociaż ich pochodne cząstkowe istnieją w każdym punkcie R². Nawet dla funkcji ciągłych istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych nie pociąga różniczkowalności w sensie definicji 9.11; zobacz zadania 6 i 14 oraz twierdzenie 9.21.

Niemniej jednak jeżeli wiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to jej pochodne cząstkowe w tym punkcie istnieją i wyznaczają całkowicie przekształcenie liniowe f'(x).

9.17. TWIERDZENIE. Niech (będzie odwzorowaniem otwartego zbioru E <= R"wR^m,iniech f będzie różniczkowalne w punkcie x e E. Wtedy pochodne cząstkowe (Djf) (x) istnieją i

(27)    f'(x)e; = Y (^Djf)(^x)“i (Ki< »)•

1=1

Tutaj jak i w paragrafie 9.16 {ej,..., e„) i {u,,..., u_m) są bazami standardowymi odpowiednio R" i R^m.