33679 str128 (4)

128 2. FUNKCJE SPECJALNE

0 fi.

J_v(z)cos vit—J__v(z)

sinv7t

(2.12) y,(z) =

Definicja 4. Funkcją Dessela drugiego rodzaju lub funkcją Neumanna o wskaźniku v nazywamy funkcję zmiennej z w płaszczyźnie z cięciem (— oo, 0) określoną w następujący sposób:

gdzie v jest niecałkowite, gdzie v = n jest całkowite.

Własność 3. Jeżeli v — n jest liczbą całkowitą nieujemną, to funkcję Bessela drugiego rodzaju Y„(z) można przedstawić w postaci następującego szeregu:

n — 1

«»

Definicja 5. Funkcjami j niku v nazywamy funkcję zn postaci:

(2.15)

(2.16)

Własność 4. Rozwiązana

(2.17)

gdzie k # 0, jest funkcja

(2.18)

Rozwiązanie ogólne rówr

(2.19)

Własność 5. Rozwiązani

(2.20)

gdzie k ¹ 0, jest funkcja (2.21)

Rozwiązanie ogólne rów postaciach:

(2.22)

(2.23)    y = AJJkz

9 _ wybrane działy matematyki...

1

= o    ¹

M

gdzie n= 0,1,2,..., |argz|<7t, \jj(\)=—C, i^(Af+1) = — C+ £ 1/m /' C /es/ s/a/ą

m = 1

Eulera, Cx 0,5772.

Funkcja F_v(z) spełnia związki typu podanego wzorami (2.5)-(2.8), (2.10) i (2.11). Oprócz wymienionych już zależności zasługują na uwagę następujące związki:

Yjze^mnj = e'^vm,,i F_v(z) + 2i sin vmre ctg vjl/_v(z), gdzie m jest liczbą całkowitą oraz

(2.14)    Jfz) y_v'(z)-j;(z) y_v(z) = -.

Wzór powyższy słuszny jest dla wszystkich v i z ^ 0.

Wykres funkcji y₀(x), gdzie x = Re (z), przedstawiony jest na rysunku 2.4.