10 (15)

m

8. Pewne funkcje specjalne

(98)

2 f (sin 0)²*^-1 (cos 0)^2,_ ld0 W

J , mrnm s s&f ■ MgJlMMrft

o

W specjalnym przypadku, kiedy x = y * otrzymujemy

<*»

Podstawienie t = s² przekształca (93) w (100)    * J , : r(x) 2 2 Js²*"    (0 < js <. oo).

Q

W szczególnym przypadku x = f otrzymamy

PT®

Stosując (99), otrzymujemy

(102)

TO

SU

JC+1

2

bezpośrednio z twierdzenia 8.19.

8.22. FORMUŁA Stirlinga. Wzór ten jest prostym wyrażeniem aproksymującym r(x+l) dla dużych x (a więc przybliżającym także n! dla dużych n). Ma on postać

(103)

iSit

*~«(x/e)^x*/2xx Dowód. Podstawmy w (93) t = x(i+«). Otrzymamy

(1®4)

F(x+1) = x^x+1e~^x / [(l+«)e“"]*du.

-i

Określmy h{u) tak, aby k(0) =* 1 oraz aby

(103)    :    *    (1+«)«"“ = exp[-$«²A(«)],

dla — 1 < u < oo, u ^ 0. Mamy wtedy

tm

Wynika stąd, że h jest funkcją ciągłą i malejącą monofonicznie od oo do 0, gdy argument u rośnie od — 1 do + oo.

Podstawienie « = Sy/2Jx przekształca (104) w

(107)

r(x+1) = x*e~*yf2x J $As)ds,