8 (34)

160

8. Pewne funkcje specjalne

Wtedy

b    b

(70)    J\f-rstfdx < i\f-t'\²dx

a    *

i równość zachodzi tylko wtedy, gdy

(71)    y_m=c_m (m — 1,2,3.....n).

Mówiąc inaczej, funkcja s„ daje najlepsze spośród wszystkich funkcji t_n przybliżenie funkcji/ w sensie całki z kwadratu funkcji.

Dowód. Niech J oznacza całkę po przedziale <a, b >, a £ — sumę od 1 do n. Wtedy jt/L =    = 2]c_my_m z definicji {c„}, a j\t_m\² = JtJ. = J£y««^,£y*?* “ EW²>

ponieważ układ {<p_m} jest ortonormalny, i wobec tego

fi/-u² « ji/p-K-i/^+jw² -

=    = Jl/l²-llcj^a+lly_m-cj²;

ostatnie wyrażenie osiąga minimum wtedy i tylko wtedy, gdy y_m = c_m. Jeśli w ostatniej równości podstawimy y_m = c_M, to otrzymamy

(72)    JMx)|² = t |cj² < J|/(x)|²dx,

a    m -1    a

ponieważ J|/—fJ² ^ 0.

8.12. TWIERDZENIE. Jeżeli {<p_n} jest układem ortonormalnym na przedziale <a,    i jeśli

/(*) ~ Z c_Bę-,(x)/fo

n = l

(73)    JS? ś jlf(x)l²Jx.

Watr a

1F szczególności

(74)    limc_n=0.

Dowód. Przechodząc w równości (72) z w do nieskończoności, otrzymujemy nierówność (73), zwaną nierównością Bessela.

8.13. Szeregi TRYGONOMETRYCZNE. Począwszy od tego miejsca będziemy w tym rozdziale zajmowali się szeregami trygonometrycznymi. Funkcje, które będziemy rozważali będą okresowe z okresem 2x i całkowalne w sensie Riemanna na przedziale <- n, n) (a wobec okresowości także na każdym przedziale ograniczonym). Szereg Fouriera funkcji/to szereg (63), którego współczynniki dane są wzorami (62), a

(75)    _Sn(x) •= s*(/; x) = £

-N

jest M-tą su

(76)

Aby otrzyni

(77)

Pierwsza z j tożsamości ( Na moc)

tak, że

I (78)

Okresowość przedziale cal

wm

Udowodn 8.14. Twu

(79)

dla dowolnego

(80)

Dowód. 0

(81)

dla 0 < W < «

|| - Podstawyanalizy■