8 (22)

148

8. Pewne funkcje specjalne

Wtedy

00

(8)

Dowód. Niech s„ = c₀+...+c„,s-_l = 0. Wtedy

m    m    m — 1

Y c„x" = £    = (l-x) Y S_nx”+s_mx^m,

Niech |x| < 1 i m-* oo. Ponieważ sumy s_m są wspólnie ograniczone, więc otrzymamy

00

(9)

/(x) = (l-x) Y *n*"-

Załóżmy, że s = lim s„. Niech będzie dana liczba e > 0. Wybierzrńy takie N, aby

nierówność n > N pociągała |s—s„| < js. Wtedy dzięki temu, że

00

(l-x)£x”= 1    (|x( < 1),

otrzymamy ze wzoru (9)

00

|/(x)-s| = (l-x) Y (^sn~s)x^u < (l-x) Y |s»rs| l^r+łe < e,

n = 0

jeśli tylko x > 1 — 5, gdzie S jest dowolną dostatecznie małą liczbą dodatnią. Wynika stąd równość (8).

Jako zastosowanie tego twierdzenia przeprowadzimy dowód twierdzenia 3.51, które brzmi następująco: Jeżeli szeregi Y^an,    i £c„ są zbieżne odpowiednio do A, B i C i jeżeli

c„ = a₀b_n+...+a_nb₀, to C = AB.

oo

00

00

Określmy/(x) = £ a„x", g(x) = Y b**”, h(x) = Y c„x" dla 0 < x < 1. Jeżeli x < 1, to

»i = 0    11 = 0    m = o

szeregi te są zbieżne bezwzględnie i można wobec tego mnożyć je według definicji 3.48; po wymnożeniu otrzymujemy

f(x)-*A,    g(x)~*B,    h(x)->C

(10)

Z twierdzenia 8.2 wynika, że

(U)

f(x)g(x) m h(x) (0 < x < 1).

przy x-*l. Z równości (10) i (11) wynika, że AB = C

W dalszym ciągu będzie nam potrzebne następujące twierdzenie o zmianie kolejności sumowania ciągu podwójnego.

8.3. TWIERDZENIE. Niech będzie dany ciąg podwójny {a,;}, i — 1, 2, 3,..., j = 1,2, 3, ...

Niech