8 (30)

156

8. Pewne funkcje specjalne

8.7. Twierdzenie, a) Funkcja Ejest ciągląfunkcją okresową o okresie 2ni.

b)    Funkcje Ci S są okresowe o okresie 2n.

c)    Jeżeli O < t < 2it, to E(ti) ^ 1.

d)    Jeżeli z jest liczbą zespoloną i \z\~ 1, to istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista t e <0, 2tc) taka, że E(ti) = z.

Dowód. Część a) wynika z równości (53), natomiast część b) wynika z a) i wzoru (46). Niech 0 < t < i n, a E(ti) = x+yi, gdzie 0<x<li0<y<-l. Zauważmy, że

£(4ń) = (x+yi)⁴ = x⁴-6x²y²+y⁴+4xyi (x² - y²).

Jeśli E(4ti) jest liczbą rzeczywistą, to x²—y² = 0, a na podstawie (48) x²+y² = 1, więc x² = = y² — j, zatem E(4ti) = f. Wynika stąd c).

JeśliO ^t_{ <t₂ < 2k, to E(t₂i) [£(1,0] “¹ = E(t₂i—tJ) ^ 1 na podstawiec). Wynika stąd część twierdzenia d) dotycząca jednoznaczności.

Dla dowodu części egzystencjalnej punktu d), ustalmy z tak, że |z| = 1. Niech z = x+yi, gdzie x i y są rzeczywiste. Przyjmijmy najpierw, że x > 0 i y ^ 0. Ponieważ funkcja C maleje na przedziale <0, jk} od 1 do 0, więc istnieje punkt t e <0, £jt>, dla którego C(f) = x. Ponieważ C²+S² = 1 i 5    0 na <0, wynika stąd, że z = E{ti).

Jeśli x < 0 i y ^ 0, to poprzednie warunki są spełnione przez -zi. Zatem -zi = E(ti) dla pewnego t e <0, ^rc>, a ponieważ i = E(jni), więc otrzymujemy z = £(i'(t+|rt)). Wreszcie jeżeli _v < 0, rozpatrzone poprzednio dwa przypadki pokazują, że — z — E(ti) dla pewnego t e (0, 7i). Zatem z = — E(ti) = £(i(r+7t)). Dowodzi to d), a więc dowód twierdzenia jest zakończony.

Z d) i z (48) wynika, że krzywa y określona przez (54)    y(t)=E(ti) (0 < r < 2ji)

jest krzywą zamkniętą, której zbiór wartości jest okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie. Ponieważ y'(t) = iE(ti), więc długość y wynosi na mocy twierdzenia 6.27

"/\vV)\dt = 2k.

o

Tego wyniku oczywiście należało się spodziewać; pokazuje on, że liczba n określona równością (51) ma zwykły geometryczny sens.

W ten sam dokładnie sposób można przekonać się, że przy t zmieniającym się od 0 do t₀ punkt y(t) przebiega luk okręgu o długości t₀. Rozpatrując trójkąt o wierzchołkach z_t = 0, z2 = y(fo), ^3 «= C(r₀) przekonalibyśmy się, że C(r) i S(t) w istocie są identyczne z funkcjami cos (i sin r, jeżeli te ostatnie funkcje są określone w zwykły sposób, tj. jako ilorazy długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego.

Należy podkreślić, że wyprowadziliśmy podstawowe własności funkcji trygonometrycznych na podstawie wzorów (46) i (25), nie odwołując się do geometrycznego pojęcia kąta. Istnieją także inne niegeometryczne podejścia do tych funkcji. Problemowi temu poświęcone są prace W. F. Eberleina (Amer. Math. Monthly, vol. 74, 1967, str. 1223—1225) oraz G. B. Robinsona (Math. Mag., vol. 41,1968, str. 66-70).