8. Pewne funkcje specjalne

Funkcja gamma

Funkcja ta jest ściśle związana z obliczaniem silni i pojawia się w nieoczekiwany sposób w wielu fragmentach analizy. Jej pojawienie się, historia i rozwój są opisane w bardzo interesującym artykule P. J. Davisa (Amer. Math. Monthly, vol. 66, 1959, str. 849-869). Innym źródłem dającym elementarne wprowadzenie w ten temat jest książka Artina cytowana w bibliografii

Nasza prezentacja tematu będzie bardzo zwięzła, z nielicznymi komentarzami po każdym twierdzeniu. Wobec tego Cały ten paragraf może być traktowany jako jedno wielkie zadanie, będące wdzięcznym polem dla zastosowania materiału prezentowanego poprzednio.

8.17.    Definicja. Określmy dla 0 < x    f

(93)    ,, .... .    *,-y. , feSMBwtóltiŻili

o

Całka ta jest zbieżna dla wymienionych wartości x. (Kiedy x < 1 zarówno 0 jak oo są miejscami, w których trzeba kontrolować zachowanie funkcji podcałkowej.)

8.18.    Twierdzenie, a) Dla każdego 0 < x < oo zachodzi f(x+1) m xT(x); b) f(n+1) = n! dla n = 1,2,3,...;

i c) logT jest funkcją wypukłą na (0, oo).

Dowód. Całkując przez części, otrzymujemy a). Ponieważ T(l) f= 1, więc metodą indukcji otrzymujemy b) z a). Niech 1 < p < oo i -+-= 1. Stosując nierówność H&ldera

P 9

(zadanie 10 rozdział 6) oraz (93), otrzymamy nierówność

F(x)^1/pr(y)^1/4

\P • 9/

równoważną ć).

Jest rzeczą zdumiewającą, że, jak pokazali Bohr i Mollerup, powyższe trzy własności całkowicie charakteryzują V. J

8.19.    TWIERDZENIE. Jeżeli f jest funkcją przyjmującą wartości dodatnie i określoną na (0, co) oraz spełniającą warunki:

a) /(x+l) = x/(x); ^

b) /(l)=l;

c)    log/ jest funkcją wypukłą,

tof(xj= f(x).

Dowód. Ponieważ r spełnia a), b)ic), więc wystSrćzy wykazać, że warunki te wyznaczają jednoznacznie /(x) dla x > 0. Dzięki a) wystarczy to uczynić dla x e (0,1).

Niech <p = log f Wtedy

(94)    >(x+1) = ę»(x)+Iogx (0 < x < oo),

poza tym <p(l) = 0 oraz </> jest wypukła. Niech 0 < x < 1 i niech n będzie liczbą naturalną.