46018 zdjecie
2

WIELOMIANY

Na początku tego rozdziału przypomnieliśmy wzory pozwaląjące obliczać pierwiastki wielomianu postaci ax¹ + bx+c, gdzie a 4 0. Ze wzorów tych wynika, te taki wielomian może mieć dwa pierwiastki (i każdy z tych pierwiastków jest jednokrotny i lub moż.c mieć jeden pierwiastek (i pierwiastek ten jest dwukrotny'), lub może wcale nie mieć pierwiastków. Możemy bowiem korzystać / następującej własności wielomianu drugiego stopnia.

Wielomian W{x) - ax¹ + ł»x + c, gdzie a 40, ma:

-* dwa pierwiastki xi i x; wtedy i tylkowtedy, gdy lV(x) = a(x - xi)(x - X2> i xj 4x 2. -» Jeden pierwiastek xo wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) = a(x - Xo)¹-

Wyrażenie a(x -xjKx x,>). a także wyrażenie a(x - xo)¹ nazywamy postacią iloczynową wielomianu drugiego stopnia.

Ćwiczenie C. Znajdź pierwiastki wielomianu i określ ich krotności.

a) x^J(x-3Xx+ I)^{2 3 4 5 6}    c) (x - 1 Xx¹ — 6x + 5)

b) (x 12>¹(x + 5)*(x + 2)    d) (x - 3Mx¹ - 6x + 9)

Ćwiczenia str. 7-8

zadania

i. Znajdź liczby spełniające równanie:

a) (x - 3)1 -!x + 5)(4 - 3x)¹ -0    d) x⁷(x⁷ - 1)(1 + x⁷) = 0

b)    tx + 5)(x + x 20Hx¹ - 5) = 0    e) (x⁷ + 2x)(x⁷ + 2)(x⁷ + x) = 0

c)    (2x¹ 19x + 9)(9x- + 1) = 0    0 (4x¹ - 8x + 6)(4x¹ - 8x)(-8x + 6) = 0

g)    4x^J - 14x¹ + 6x - 21 = 0

h)    15x^s - 10x² - 6x + 4 = 0

i)    2x^s — 8x⁷ + 16x¹-64 = 0 J) 3x^s - 12x⁷ - 12x^z +48 = 0

k)    5x^s + x⁷ - 6 ■ 30x¹

l)    5 = 3x + 5x² - 3x^s

iR 3. Znajdź pierwiastki wielomianu W(x).

a)    W'(x) = X² - 4x ‘ 8    124x +12    d)    lV(x) = x^:ł - 5x - 4

b)    tV(x) = X² - 3x⁷ + 5x¹ - 3x + 4    e)    1V(.\) = x⁷ - 6x + 4

c)    iV(x) = X² ♦ 3x³ - x² - 6x - 2    0    lV'(.v) = 4x³ - 3x + 1

Wskazówka. Przedstaw jeden / wyrazów wielomianu jako sumę dwóch jednomlanów.

A 4. Rozwiąż równanie (postaraj się znaleźć rozwiązania w jak najprostszy sposób):

a)    (2x -l)² = 100    e) x²(x - 5) = x²

b)    (51 x)³ = -8    f) x(3 - 2x) = (3 - 2x)²

c) (512x)² = (3 + x)²    g) (x - 4)²(2x - 7) - (x - 4)³(2x - 7)

d) (x²19)^J = (2x²110)³    h) x(x - 2)²(x+9) = x(x 12)(x + 9)

5. Niech | będzie liczbą naturalną. Ile rozwiązań ma podane równanie? Dla jakich wartości n wszystkie pierwiastki lego równania są liczbami całkowitymi?

a) xⁿ -125 = xⁿ'¹ - 125x    b) x" +x² = 100x"-² +100

6.    a) Znajdź liczbę, o której wiadomo, że suma tej liczby i sześcianu liczby o 1 od niej mniejszej wynosi 11.

b)    Znąjdź liczbę, której sześcian jest równy sumie tej liczby i jej kwadratu.

c)    Znąjdź liczbę, której kwadrat jest o 2 mniejszy od jej czwartej potęgi.

7.    Uzasadnij następującą własność:

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników tego wielomianu jest równa 0.

8.    Uzasadnij, że jeśli wielomian H^r(x) = ax⁷ + to⁵ + cx³ + dx + e spełnia warunek 1V(-1) | —1V( 1), to 0 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

9.    Które z podanych równań nie mąją rozwiązań? Odpowiedz na to pytanie, nie rozwiązując równań.

a) x⁴ + l=0    d)    3x² + 4x⁸ + 2 = 0    g)(x⁴ + 2)³--8

b)    x² -2 = 0    e)    (3x-4)®    + 5 = 0    h) (x²-7)⁵ +1 =0

c)    3x² + x⁴ = 0    f)    2(x²-7)    = -4    i) (x -1)² = (x -1)⁴

10.    Podąj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest:

a) y/S    i$.b) 1 + V7    «$c) ^/5 + y/7 ^{8 9 10 11 12}

1

Rozwiąż równanie:

2

b)    4x² | 5x¹ ♦ 1 - 0

3

c)    2x"' ♦ Sx⁷ - 12x = 0

4

d)    2x^? - x* - x - 0

5

e)    6x⁷ + 6x¹ - 3x - 3 - 0

6

f)    2x^s - 18x^ł 12x¹ - 18 i 0

7

a)    -Sx² + 3x^ł + 14x¹ - 0

8

   Znajdź, pierwiastki podanego wielomianu i ustal ich krotności.

9

a)    x⁷(x - l)³(x + 2)(x + 5)⁵    e)    (x - lXx^s - 5x⁴ + 4x³)

10

b)    x(x13)²(2x - l)³(x13)    f)    (3x⁴ -1| + 3x - l)(x + l)³

11

c)    (x + 2)⁴(3x + 4)²(x + 2)³    g)    (x² - l)²(x⁶ - 2x^s + x⁴)

12

d)    (x²19)(x² + 2x - 15)²(x² - 2x + 3)    h)    (x³ -x²)(x⁶ + x⁴ -x² - 1)