48143 Untitled Scanned 37 (4)

40__PLANIMETRIA I

259. Odcinki AK i BE są wysokościami trójkąta ostrokątncgo ABC. a punkt S jest punkiem ich przecięcia. Uzasadnij, że

a)    na czworokącie ABCD można opisać okrąg;

b)    okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.

260. Czworokąt ABCD o obwodzie 20 opisany jest na okręgu. Oblicz długość boku AD wiedząc, że długości boków AB. BC i CD w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

261. Dwa sąsiednie boki czworokąta wpisanego w okrąg mają długość 5 cm i 8 cm. przekątna, której końcami są końce tych boków, ma długość 7 cm. a pozostałe dwa boki mają równą długość. Oblicz pole tego czworokąta.

262. Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

263. R Dwusieczna kąta B trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie .S\ a dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie /’. Dwusieczne przecinają się w punkcie O. Znajdź miarę kąta .-A. jeżeli wiadomo, że na czworokącie A TOS można opisać okrąg.

264. Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

265. R Czworokąt ABCD wpisany jest w okrąg. Proste zawierające boki AB i CL> przecinają się w punkcie K. Oblicz, ile razy bok AB jest dłuższy niż bok CD, jeżeli punkt H jest środkiem odcinka AK i ! D('\;! CK\= I : 8.

266. ' W W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD. Oblicz, obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że = BC\. !Z/A/>ć’I = I20 i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD wynosi 2:1.

267.* R W kole o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie K. Oblicz, miarę kąta BAM wiedząc, że w czworokąt OBMK można wpisać okrąg.

268.¹ R Jeden z kątów czworokąta wpisanego w okrąg ma miarę 60°. boki zawarte w ramionach tego kąta są równe. Wykaż, że suma długości pozostałych dwóch boków jest równa długości przekątnej poprowadzonej z wierzchołka kąta o mierze 60°.

269. R Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Wiadomo, że trójkąty A BE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4. a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A. Oblicz długość boku BC.