46334 Untitled Scanned 27 (7)

30 PLANIMETRIA

140. D e fini c j a. Trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi, nazywamy trójkątem pitagorejskim.

a)    Sprawdź, czy podane liczby są długościami boków trójkąta pitagorejskiego I) 7. 24. 25. II) Ó. 14. 17.

b)    Znajdź wszystkie trójkąty pitagorejskie, których długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi.

c)    Uzasadnij, żc jeśli długości boków trójkąta są równe p² - q², 2pq, p² + ą¹. gdzie p i </ są liczbami

dodatnimi takimi, że p > ą. to trójkąt ten jest prostokątny, a następnie znajdź długości pozostałych boków trójkąta pitagorejskiego. którego najkrótszy hok ma długość 13.

141.    Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego równoramiennego trójkąta prostokątnego ma długość 5. Oblicz pole tego trójkąta.

142.    W trójkącie ABC miara kąta ACB jest dwa razy większa od miary kąta C'Ali. Dwusieczna kąta ACH dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Uzasadnij, że co najmniej jeden z otrzymanych trójkątów

a)    jest równoramienny;

b)    jest podobny do trójkąta ABC.

143.    Środkowa CD trójkąta ABC jest równa bokowi 4C i dwa razy krótsza ml boku AB. Znajdź kąty tego trójkąta.

A'

A

ii

fl

144.    t)bliczymy tangens kąta o mierze 22.5°.

• Narysujmy trójkąt równoramienny ABC. którego ramię ma długość a. zaś kąt przy wierzchołku ma miarę 135°. Kąt przy podstawie trójkąta ma więc miarę

22,5°. Wówczas kąt KAC (patrz rys.) ma miarę 45 .

• Zatem -^4[=cos45° i |^| = sin45^c. Stąd otrzymujemy \KA\ = \KC\ = \a-Jl.

lAć.1    l/l (.1    "    “

W podobny sposób oblicz tg 15°.

145. R Stosunek długości przy prostokątny eh trójkąta prostokątnego wynosi 3:8, a środkowa poprowadzona do dłuższej z nich ma długość I5.

a)    Oblicz długość przyprostokątnych trójkąta.

b)    Oblicz odległość środka ciężkości trójkąta rui dłuższej przy prostokątnej.

146. R Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 9. Punkt K należy tło boku BC i \BK\ = 2. Oblicz tangens kąta BAK.

147. Podstawa trójkąta równoramiennego i wysokość opuszczona na podstawę mają równe długości. Wyznacz kosinus kąta przy podstawie trójkąta.

148. Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość a. Oblicz, dłu gość wysokości poprowadzonej do podstawy.