57615 MATEMATYKA109

208 IV. Całka nieoznaczona

208 IV. Całka nieoznaczona

PRZYKŁAD 2,X Nierzadko zachodzi potrzeba stosowania obydwu metod całkowania Obliczymy całki

f(t)«» Int, #'(!)■ I I

r (i)--. g(t)-t

a) fcosxlnsinxdx = { ^s"'^{v 1}    1 = flntdt

J    | cosxdx ^; dt j J

= tlnl-Jdt = tlnt-t+C = smx(lnsmx- I) + C.

x²+l-i

b) fx³sin(x² + t)dx= f(x²sin(x² + l))xdx =    \ _T f(t — l)sintdt =

^{J    J}    xdx- ydi ^{L J}

-ter*(»'«

=    (1 t)cost+sin t)+C = y (sin(x² -i 1) - x²cos(x² +1))+C,

c) J^{c x}dx = J(^e^T )~2 dx = j ^-=t, 4j-dx = dt = J-tedt =

₌ |f⁽0—t, g'(0-c‘|_=Me, ₊ f_e,_{d (}__t+1)c,_+c=(i_+1)cv_+G u

lf^,(t)=-l,g(t)=c¹ J J    x

WZORY REKURENCYJNE Przyjmijmy oznaczenie: .

J_n = Jx°e^xdx, n = 0,1,2.....

Zatem    J₀ = J x Vdx = | e^K = c\

Natonuast dla n = 1,2,..., mamy

J_n = i ^f = ^x"_!i ®' ^{= e}l=xV-nfx" ^le^xdx =x“e^x-nJ„„

|f' = nx^D , g = e    ^J    Bl

czyli

(2.7)    J_n = xV - nJ„_,, n = 1,2,... .

Równości tej postaci nazywa się wzorami rckurencyjnymi dla całek.

t

Podobnie uzyskuje się wzory rekurcncyjnc dla wielu innych całek, na przykład

J„ = Jsinⁿxdx, J„* Jlnⁿx.

Nieco trudniej uzyskuje się, ważny dalej przy całkowaniu funkcji wymiernych, wzór rckurcncyjny

, f dx    1    x 2n-3 ,

^{(    } J}" ⁼ J(k4.x²)ⁿ'M2n-2)(k+x²)^{n, + k}<2n-2)^Jn-¹’

PRZYKŁAD 2.9 Stosując wzór (2.7) łub (2 8) obliczymy

całki:

a)    Jj = JxVdx.

Zgodnie ze wzorem (2.7) otrzymujemy kolejno: J₀=JxVdx=Je^xdx=e^K,

J, = J x‘e^xdx = xe^x - J₀=xc^x -c^x,

J ₂ = J x²e^xdx = x²e^x - 2J,=x²e* - 2xc^x+2e^x,

J j=J xVdx = xV -3J₂=x V - 3x²c^x + 6xe' - 6e^x + C=

= (x³-3x²+6x-6)e^x + C.

c d\

b)    J, = -{stosujemy wzór(2.8) dla n-2 i k=l} =

² J (1+X )

1 x 1 r dx x I . _n

⁼ 2T^⁺2JTT7⁼2(WT⁺2^arct8X+c

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Przekształcając funkcję podcałkową obliczyć:

b) f-^₇dx.    d)

J x + l    J x“ + 1    J l-sin^ax    ^J

2.    Stosując twierdzenie o całkowaniu przez, podstawienie obliczyć: a) J(x² + l)⁵xdx, b) Jcos²xsinxdx, c) Jx²Vv‘ + ldx,

i