68138 P3310024 (2)

42 wstęp_fte

innych zmiennych (niezależnych) łącznie. Interesuje tu nas jednoczesny wpływ kilku czynników na badane zjawisko.

Matematycznym punktem wyjścia dla korelacji wielorakiej, a także cząstkowej, jest równanie regresji wielorakiej, które tu zapiszemy w postaci

XI ~^a + ^bi2H _pXi + ^13.24 ,X,n _Xp-_l)X_p    (1.37)

gdzie: X, jest zmienną zależną; X₂, X,,..., X_p są zmiennymi niezależnymi, zaś h₁₂._} , b_n2 itd. są współczynnikami regresji cząstkowej, przy czym kolejność subskryp tów głównych jest tu ważna.

Korelacja wieloraka nie jest sumą prostych korelacji zmiennej zależnej i różnych zmiennych niezależnych branych osobno. Same bowiem zmienne niezależne są między sobą skorelowane i ich wpływy w pewnej mierze dublują się. Wynikają stąd znane zasady doboru do modelu regresji właściwych zmiennych niezależnych, przy których wiedza i empiryczne doświadczenie w danej dziedzinie oraz intuicja badawcza odgrywają istotną rolę.

Współczynnik korelacji wielorakiej stanowi wskaźnik stopnia korelacji między pojedynczą zmienną zależną X, a kombinacją zmiennych niezależnych X. X„..., X_p razem wziętych. Mierzy on stopień, w jakim zmienność cechy przyjętej za zależną jest skojarzona z łącznym działaniem reszty czynników Współczynnik korelacji wielorakiej oznaczamy symbolem R_{](23 p)}, a wzór może być wyrażony w różnych postaciach, w zależności od sposobu podejścia do jego wyznaczenia. Jeśli odwołamy się do równania regresji wielorakiej (1.37), to współczynnik kore| iacji wielorakiej jest pierwiastkiem kwadratowym z wyrażenia

n2

*1(23 .p)

*^1 (23-./>)

s!

(1.3

gdzie: S,²(23 p) jest wariancją resztową, zaś S* jest wariancją zmiennej zależnej A’

p

W terminach analizy wariancji dla regresji X, = a + Z b_u. A. zapisalibyśmy:

wariancja resztowa, gdzie SK_e jest sumą kwad

SK

' n — (p — 1) — 1 ratów reszt,

7

(23 pi

= R² =

SK,

~ŚK

kwadrat współczynnika korelacji wielorakiej (współc

'zyn

nik determinacji), gdzie SK_r jest sumą kwadratów w regresji oraz SK jest całkowitą suma kwadratów.

_p) jest zatem współczynnikiem determinacji, który informuje, jaka część całkowitej zmienności cechy X, jest wyjaśniona przez zespół cech niezależnych (X₂,...,X_p), zaś I- Rf_{{n }} jest współczynnikiem indeferminacji (zbieżności)