77480 skanuj0065 (38)

v = a • (b x c)

Z definicji tej wynika bezpośrednio, że

a ■ a* =

^a ' (^b x c) ₌ j

V

b • b* = 1

c • c* = 1

Ponadto, ponieważ a* jest prostopadłe do b i c (iloczyn wektorowy):

a* • b = 0    a* • c    = 0

i również

b* • a = 0    b* • c    = 0

c* • a = 0    c* • b    = 0

Dziewięć podanych tu iloczynów skalarnych określa więc również sieć odwrotną. Te dziewięć równań można podać w postaci syntetycznej

^e('^e* = S_u

e_t:    ej = a    e₂ = b    e₃ = c

e*:    e* = a*    e* = b*    e* = c*

dij (symbol Kroneckera) = 0, jeżeli i =£ j, d_i} = 1, jeżeli = j.

Wędy sieci odwrotnej znajdują się na końcach wektorów

D* = ha*+kb*+lc*

przy czym h, k, l są liczbami całkowitymi (rys. 1.52).

Wykorzystując poprzednie zależności znajduje się natychmiast

a D * = h b • D* = k c-D * = /

Komórka odwrotna ma objętość 1 jv. Istotnie

v* — a* • (b* x c*) = ((c x a) x (a x b)) =

a*    *d

= —_ra[abc] = a* • a • —5- = v~^x

v²    v²

Konstrukcja sieci odwrotnej wynika z jej definicji.

Konstrukcja wektora a*:

jego kierunek jest prostopadły do b i c, jest więc prostopadły do płaszczyzny (b,c) (rys. 1.51),

jego zwrot jest taki sam jak iloczynu wektorowego bxc, jego długość jest taka, że a* • a = 1, tj. (rys. 1.53)

<z-cos<tf,0*> (rzut a na kierunek a*) <a,a*> oznacza k^t między a i a*.

69