77(1)

7. PLANIMETRIA

Skorzystamy z tego. że promień w punkcie styczności jest prostopadły do stycznej i że odn,, odcinki wyznaczone na stycznych przez punkty styczności są równe.

Oznaczmy r - promień okręgu.

Jedna z przyprostokątnych ma długość 5 + r. a druga r + 12.

Trójkąt jest prostokątny, więc korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

(5 + r)' + (r+ 12)^:= I7^:

25+ 10r + r*'+r^:+24r+ 144 = 289 2r^J+34r-120 = 0    |:2

r’ + 17r - 60 = 0

Aby znaleźć pierwiastki równania, rozkładamy trójmian na czynniki.

/'+ 17r - 60 = 0 r^:-3r + 20r-60 = 0 (r^:-3r) + (20r-60) = 0 r(r - 3) + 20(r - 3) = 0 (r - 3K r + 20) = 0 r - 3 = 0 lub r + 20 = 0 r = 3 lub r =- 20

Promień kola jest liczbą    2Tir = 2Jl • 3 = 6Jl

dodatnią, zatem r = 3.

Obliczamy obwód kola.

Odpowiedź: Obwód kola jest równy 671.

Wykaż, że dwusieczne kątów przyległych przecinają się pod kątem prostym.

Rozwiązanie:

Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Suma miar kątów przyległych a, 180* - a - kąty przylegle jest równa 180*. Jeśli miara jednego z kątów jest równa a, to miara drugiego jest równa

180*-a.

Dwusieczna dzieli każdy z kątów 33 vh*a kąt> o równych miarach.

a 180* - et

2* 2

- miary kątów powstałych w wyniku pod/.ialu kątów przyległych dwusiecznymi

Mura kąta między dw usiecznymi    a ₊ 180* - a _ 180* _

ot równa sumie miar kątów 2    2    2

ległych. powstałych w wyniku ;> działu dwusiecznymi.

Wre/amy sumę miar tych kątów, kat o mierze 90* jest prosty.

Me równołegłoboku AZOR jest równe 128, tangensjego kąta ostrego jest równy -j. Wysokość A\V popro-

odzuoa z wierzchołka kąta rozwartego dzieli bok RO na dwa odcinki, takie, że | /?W|: | WO\ = 3:5. Oblicz wysokość równołegłoboku.

Kundazanic:

Wykonujemy rysunek pomocniczy.

|j»i = 3x,|łV0| = 5.v. gdzie .* jest pewną liczbą rzeczywistą dodatnią.

h

El.

w

Obliczamy długość podstawy    | RO |3* + 5x = 8.v

nwBokgtoboku.^

Obkzamy pole równołegłoboku. 128 = 8.v h "nożąc pole jego podstawy pr/cz wysokość.

Katem ostrym równołegłoboku    .    h

jest np. kąt ARO.    3.v

Tongcns tego kąta to stosunek T ⁼ T" przyprostokątnej trójkąta    3/, _    j ^.

prostokątnego ARW

leżącej naprzeciw kąta    '    ~

drugiej przyprostokątnej.    ^{v =} T

Wyznaczone x podstawiamy do wzoru napoić "*nolcgłoboku.

128 = 8* h 128 = 8- j -h

128 = 2h² h = 64 h = 8(/j > 0)

< >■■> wiedź: Wysokość rów nołegłoboku jest równa 8.