img499

2.III. Wyznacz współrzędne takiego punktu A, że styczna do wykresu funkcji / w punkcie I jest równoległa do prostej k.

a)    /(*)■-2x^a+jt+l, k: 5x-y-2-0, d) f\x) = ²—, *:x + 5y-0,

a: +3

b) f(x) = x² + 2x-2>, k\2x + y + 1 = 0,    e) f(x) = -^—, k: 3x +y - 1 = 0,

x³

c)    /(*) = k: x- 5y- 5 = 0,    f) f{x) = k: \2x-y-S = 0.

x +4    _x⁴

Zilustruj zadanie rysunkiem.

2.11.    Wyznacz współrzędne takiego punktu^, że styczna do wykresu funkcji / w punkcie A jest prostopadła do prostej k.

a)    f(x) ~-x² + x + 2, k: x- 5y + 10 = 0,

b)    f(x) = 3x² + x- 2, k: x - 5y - 10 = 0,

c)    f(x) = k: 2x +y - 5 = 0,

1 -x

d)    f(x) = —, k: 6x —y + 4 = 0,

x +4

e)    f(x) = \, k :x + 4y-8 = 0,

x

f)    /(x) = ——, A::x+10y = 0.

x⁵

Zilustruj zadanie rysunkiem.

2.12.    Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji/(x) = Vx, równoległej do prostej przechodzącej przez punkty A(-1, 0) oraz 5(0, 1).

2.13. Oblicz pole trójkąta ograniczonego dodatnimi półosiami układu współrzędnych

ję _1

x -3

i tą styczną do wykresu funkcji f(x) =-, która jest prostopadła do prostej o równaniu

2x —y -3 = 0.

2.14. Oblicz pole trójkąta ograniczonego ujemnymi półosiami układu współrzędnych

i _

i tą styczną do wykresu funkcji /(x) 4x+y— 11 =0.

. 2 -x x +2

, która jest równoległa do prostej o równaniu

2.15. W którym punkcie wykresu funkcji/(x) = -x³ należy poprowadzić styczną do tego wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu współrzędnych było równe 54?

2.16.    W którym punkcie wykresu funkcji /’(*)    \ milczy poprowadzić styczni

wykresu, aby pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu współrzędn

,    9,,

równe - ’

8

2.17.    Znajdź równania prostych k oraz / stycznych do krzywej, będącej w funkcji f(x) = -x² -9, przechodzących przez punkt A(4, 0). Oblicz pole trójką gdzie fi i C są punktami styczności prostych k i / do tego wykresu.

2.18. Znajdź równanie tej stycznej do wykresu funkcji /(x) przez punkt A(0, 0).

2.19. Znajdź równanie wspólnej stycznej do wykresów funkcji f(x) = x² -t 4v g(x) = x² + 8x + 4.

2.20. Funkcja f(x)=x³-3jc + 2 ma ekstrema w punktach x\ ix₂. Do wykresu lej li prowadzono styczne w punktach o odciętych -2,2, jci i x₂. Wykaż, że czworokąt u przez te styczne ma środek symetrii S. Znajdź współrzędne punktu S.

2.21.    Wykaż, że pole trójkąta ograniczonego styczną do hiperboli xy = k² (k t ( wadzoną w punkcie należącym do tej hiperboli, oraz asymptotami tej hiperboli i od współrzędnych tego punktu.

2.22. Dany jest wielomian W(x) = x³ + ax² + bx +1. Wiadomo, że jest on poili reszty przez wielomian P(x) = x² + cx + 1 oraz, że współczynnik kierunkowy sl wykresu wielomianu lV(x) w punkcie o odciętej x = 1 jest równy c. Wyznacz a, I stępnie znajdź równanie stycznej do wielomianu W(x) w punkcie o odciętej x

2.23. Dla jakich wartości a < styczny do prostej y = 2x1

0,-

wykres funkcji f(x) = x³-x~ cos 2a - sii

2.24. Dana jest funkcja f(x) = x³ + kx - 2, gdzie k>0. Wykaż że żadna z dwócl stycznych do wykresu tej funkcji nie jest do drugiej prostopadła.

2.25. Dana jest funkcja f(x) = x³ + kx — 2, gdzie k > 0. Wykaż, że istnieje nieś wiele par różnych prostych równoległych, które są styczne do wykresu tej funki