122643

f\a) = tga.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie A=(a, f(a)) ma postać

y= f{a)+ f'(a)(x-a).

Przykład

Niech f(x) = x², a = —1. Wtedy f (—1) = —2, zatem styczna do wykresu tej funkcji w punkcie A =(—1,1) ma postać

y =1 +(-2) • (x +1) = —2x -1.

Twierdzenie 5.3

Miara kąta ostrego przecięcia wykresów funkcji f i 9 w punkcie A =(a,b)_t gdzie b = f (o) = 9(°), wyraża się wzorem

(p = arc tg

f\a)-gXd)

1 +f'(a) g'(a) ‘

Jeżeli f\a) g'(a) = -l, to <p= — .

Przykład

Obliczymy miarę kąta przecięcia wykresów funkcji f (x) = x² i g(x) =x³ w punkcie

A =(1,1). Ponieważ f '(\) = 2 oraz g'( 1) =3, więc

| 2 3 I    1    2

<p= arc ig - = arc tg — =8° = — n

| l-t-2-31    7    45

Definicja 5.4

f(x + Ax) — f (x) Ax

DEr

f'(x) = lim

Ax—*0

dla x€ R takiego, że istnieje U(x) <=D,.

Przykłady

Niech f(x) = x². Wtedy f'(x) = lim    -— = lim (2x + Ax) = 2x, skąd w

Ax-*0    Ąy    A*-ł0

szczególności mamy f (—1) = 2 -(—1) = —2.

Niech f(x) =Vx . Wtedy f'(x) = lim ⁺ —— = lim -L-j= = —^=, skąd

A»-«0 A*    yjX + Ax + y X 2 yjx

mamy ^'(1)-^ = -.

sin(x + Ax)— sinx

Ax

Ax-»4

'(x) = lim

Rozważmy jeszcze funkcję fOO — sin x. Mamy f

2-sinf cos(x+f) sinf = hm---— = lim-— • hm cos(x+ = cosx

* *•    Ax-*0 i* Ax-*0    ^Ł

Wzory podstawowe

1.    (x^a)' = ax^a', aeR,

2.    (sinx)' = cosx,