82149 Str053 (2)

102 l K r >7łlogriHł»A

P_t m A 'C j + B\

/v .rCit/r.

Aby znaleźć A' i B\ postępujemy w następujący sposób: Odejmijmy ostatnie równanie od pierwszych dwóch, utwórzmy macierz /*, wymiaru 2 x 2, z dwóch kolumn P_y - P_y oraz P₂ - i utwórzmy macierz C, też wymiaru 2 x 2, z kolumn C, - C₃ oraz. C\ - C₃. Otrzymamy równanie macierzowe P = A'C_t 7 niewiadomą Aktóre możemy rozwiązać tak samo, jak to robiliśmy w przypadku liniowych przekształceń szyfrujących. W końcu, gdy znajdziemy już A’ = A ^M, macierz B' wyznaczymy z któregokolwiek z trzech powyższych równań, tip. B' ~ ?_t - 4^rCj.

Ćwiczeniu

1.    Przeprowadź analizę częstości występowania liter, by odczytać następującą wiadomość, zapisaną w 26-literowym alfabecie i zaszyfrowaną za pomocą szyfru Vigcnere’a z trzyliterowym słowem-kluczem. Zrób to w następujący sposób: Aby znaleźć pierwszą literę słowa-klucza, weź ciąg liter składający się z co trzeciej litery kryptogramu, począwszy od pierwszej. Nie zakładaj, że najczęściej występującą literą jest „E”. Wypisz cztery najczęściej występujące litery i wypróbuj po kolei przypadki, że każda z tych liter jest zaszyfrowaną literą „E*\ Jeśli któraś z pozostałych trzech najczęściej występujących liter okaże się wtedy np. zaszyfrowaną literą „Z" lub „Q”, to wiesz, że dokonałeś złego wyboru litery „E”. Metodą eliminacji znajdziesz literę, która musi szyfrować „E” i stąd literę słowa-klucza, która dokonuje tego szyfrowania. W taki sposób znajdź słowo-klucz i odczytaj następującą wiadomość:

AWYVPQCTBLWYLPASQJWUPGBUSHFACELDLLDLWLBWAFAHS

EBYJXXACELWCJTQMARKDDLWCSXBUDLKDPLXSEQCJTNWPR

WSRGBCLWPGJEZIFWIMJDLLDAGCQMAYLTGLPPJXTWSGFRM

VTLGUYUXJAIGWHCPXQLTBXDPVTAGSGFVRZTWTGMMVFLXR

LDK.WPRLWCSXPHDPLPKSHQGULMBZWGQAPQCTBAURZTWSFQ

MBCVXAGJJVGCSSGLIFWNQSXBFDGSHIWSFGLRZTWEPLSVC

VIFWNQSXBOWCFHMETRZXLYPPJXTWSGFRMVTRZTWHWMFTB

OPQZXLYIMFPLVWYVIFWDPAVGFPJETQKPEWGCSSRGIFWB

2.    Znajdź macierze odwrotne moduio N do podanych macierzy. Napisz te macierze odwrotne tak, by ich wyrazy były liczbami nieujemnymi, mniejszymi niż N.

moduio 5

moduio 29

(c)    (4 9 j moduio M

(d)    f ⁴o 2l) ^n,odul° ⁸⁴¹

« (lod $|) ^m°^dul° ⁸⁴¹

moduio S, zapisując

W ćwiczeniach 3-5 znajdź wszystkie rozwiązania x i ; jako liczby nicujcmne, mniejsze od N.

3. w	* + 4;s	1 (mod 9)
	5* + 7; s	1 (mod 9)
(b)	* + 4; =	1 (mod 9)
	5* + 8; =	1 (mod 9)
(c)	* + 4; =	1 (mod 9)
	5* + 8; =	2 (mod 9)
(d)	* + 4; =	0 (mod 9)
	5* + 8; =	0 (mod 9)
4. (a)	17* -ł- lly	s 7 (mod 29)
	13*+ 10;'	= 8 (mod 29)
(b)	17* + %	= 0 (mod 29)
	13*+ 10;	= 0 (mod 29)
(c)	9* + 20;	= 0 (mod 29)
	16*+ 13y	= 0 (mod 29)
(d)	9* + 20;	= 10 (mod 29)
	16*+13;	s 21 (mod 29)
(e)	9* + 20;	s 1 (mod 29)
	16*+13;	= 2 (mod 29)

5.    (a) 480* + 971> s 416 (mod 1111)

297* + 398y s 319 (mod 1111)

(b)    480* + 971y = 109 (mod 1111)

297* + 398; s 906 (mod 1111)

(c)    480* + 971y = 0 (mod 1111)

297* + 398; = 0 (mod 1111)

(d)    480* + 971; s 0 (mod 1111)

298* + 398y s 0 (mod 1111)

(e)    480* + 971ys648 (mod 1111)

298* + 398; s 1004 (mod 1111)

6.    Liczby Fibonacciego mogą być zdefiniowane za pomocą wzorów f_i =* 1, f₂ = j_t/₃ s= 2,/,+ j =/, +/,. _t dla n > 1 lub równoważnie za pomocą równania macierzowego