86654 ScanImage1

6. WYZNACZANIE ELIPSOIDY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO

Tensor momentu bezwładności ciała sztywnego

Rozważmy przypadek ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół osi przechodzącej przez jego środek masy. Ruch ten opiszemy w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego początek pokrywa się ze środkiem masy ciała. Ogólne wyrażenie na moment pędu ciała sztywnego (a także dowolnego rozkładu dyskretnego mas) względem wybranego punktu (początku układu współrzędnych) ma postać:

t - Z $ x m_i^_i    (6.1)

gdzie r₍ - wektor określający położenie elementu o masie in (całe ciało dzielimy myślowo na elementy traktowane jako punkty

materialne), v - prędkość tego elementu.

Dla ciągłego rozkładu masy wyrażenie (6.1) zapisujemy najczęściej w następującej formie:

i

dm = "r x"v pdV

(6.2)

gdzie p - gęstość masy ciała, V, M - objętość i masa ciała.

Ponieważ v_j = £> x "r_i , (gdzie "<j jest prędkością kątów? ciała), w równaniu (6.1) występuje podwójny iloczyn wektorowy, który można przedstawić za pomocą dwóch iloczynów skalarnych (po uwzględnieniu, że r₍ = x₍'l_j( + y^ + z%_x oraz "u =

*    e_z, gdzie , "e_y,oznaczają wersory osi x, y, z):

t = Z in_i [ t) i* - 1:_i ( "V, ~*u) ].    (6.3)

Zgodnie z (6.3) składową wektora £. w kierunku osi x zapisujemy w postaci:

L=wZmr²-Zmx ( i ty),    (6.4)

XXII    t i ' i '    '    '

adzie r £> = x w + y u + z w

³    i    i x    i y    i z

Wobec tego

2 L = u Z m r - uZm x x I 1 x !	x^2-(jZmxy - <jZ kl y 1 1 ^21 z	m x z • i i i	(6.5)
Wprowadźmy oznaczenia:
	Z m (r^2 - x^2 ) = I	-	(6.6)
	- Z m x y = I 1 1 ^11 x y	•	(6.7)
	- Z m x z = I tli X z	•	(6.8)
Wielkości III xx, x y , x z	(zwane składowymi	tensora	momentu
bezwładności - wyjaśnienie pojęcia niżej) zależą od masy w ciele. Biorąc za przykład wyrażenie:			rozkładu
I = Z m (r^2 - XX 1 ' 1	x^2 ) = Z m( <y^2 + z^2 )		(6.9)
widzimy, że jest ono	sumą iloczynów mas	przez	kwadraty
odległości od osi x.	a więc rzeczywiście	oznacza	moment
bezwładności względem	tej osi. Dla układu	odniesienia nie

związanego z obracającym się ciałem (w układzie laboratoryjnym) składowe te zależą od chwilowej orientacji ciała względem osi układu współrzędnych, a więc są zależne od czasu. Postępując podobnie ze składowymi i możemy składowe wektora momentu pędu zapisać następująco: