algebra0007

i

wg::r.:nia 1 - informatyka I - Algebra liniowa - 1999 _r.

Wszystkie zedanio (I-I3} "są u;n~tc^K tyle samo punktów.

^ Rozwiąż następujący układ naci R

:^r. -r £ i -< T3 = 3 + u

:?*i + 2r₂ - 5

ri - x₃ = a

:,:y -i-flodi clhninacji. Ola jakich wartości parametru o ten układ Oi Ina dokładnie jedno io-twi^wutc. '/"» <T ki , vj.

*3 ni^ońc^cnio wiele ro/wi.3y.au. 3 \c>_v y .v \ £3 & 0 Ci,.

^ just sprzeczny. -JU.'--*-⁴. o' •-    •’-• C *’— 'I..,    •    • V''

rooii

(2) Niech /I =•• i ¹ 0 0 I £ M₃(C). Znajdź odwracalny macierz C f- M₃(C) i

^v'-^y    L°ⁱ⁰J

diafcuahtą D t M₃(C) takie, że A — O DC"¹.

-5. p;vc-:t: v.epj V — Rjzjj definiuj omy fortr.ę dwuliniową

r ,

f- - > ,

/v — c. r_

macierz

-1).

Sprawdź. forma (■. ; j v;( rzeczywistym iloczynem skalarnym Znajdź dowolny bazę ortonornmlry przestrzeni V orne uzupełnienie ortogonalne U>^ri- (względem i!«»<■■?.j"-aj rUa po<lprzrstr-:em I>^r ~ {l — x~). d.jgZr.,,;*ostrosłup- wyznaczonej^ przez :>uuktv A — (l. 1,1). B = (1,1, 6* wfl, ‘1,1} oraz D = (-1.1.1).'

(••» Znajdź równanie płaszczyzny złożonej ze wszystkich punktów równo oddalonych od punktów = (1.2.3) i Tf — (3,2,1).

Znajdź bazy wszystkich czterech przestrzeni fundamentalnych dla odwzorowania ta*’ ef nosowego T — R⁴ —* 5[rj₄ zadanego wzorem fA    A ^

i*‘ 't    7’(al - fa- — a₂)x⁴ -f fa< — aj)x³ -f (a->. — ccj)?:² + (oj — u₃)z t a₂ — a₄ ,

\f‘^J K*’*

r";l

gdzie a j { «= R⁴. Podaj wy-iik działania pierwszego wektora bazy Ini T* (odp.

L<*« J

Ker 7’'} n? wektorze Cj 4- 2e₂ + 3e₃ + 4c_; (odp. J + 2x + oi' + 4x³ -r 5x⁴) .

6. Znajdź przedstawienie macierzy A = [n 5J € MjjFio) (i‘\s = Zi-j) w postaci

LDL^ł, gilzie Z £ Mo(P_iS) jest macierzą dolno-trójkątną z jedjmkami na przekątnej zaś £> £ M2(Fis) jest macierzą diagonalną

©Znaidż dla macierzy

€ M₃(R)

fi -1 o i

A = -1 o -1

[0-11

macierz ortogonalną B £ M₃(R) taką. że B~ AB jest macierzą diagonalną.

S. Wykorzystując twierdzenie. J ord a na udowodnij, żc jeśli macierz A 6 M„(C) spełnia rówmość A^m = 0 dla pewnej dodatniej liczby m € N to spełnia, również równość Aⁿ = 0.

% r Ca

I

c

n

\J

0