ciąg płatności wzory

(2)

Matematyka finansowa

Wzory

Dany jest strumień pieniędzy (cash flow): (CF₀ , CF|,CF_n) (1) Wartość bieżącą strumienia (1)

CF CF PV = CF_n +-—^L+    ’

CF_n ^ CK

1 + r (1+r)'    0+>')” ,=oO+ry

⁺ -- ⁺ —^ ⁼ Ł'

gdzie r jest stopą procentową.

Wzór na przyszłą wartość strumienia (1) ma postać

FV = CF₀( 1 + r)' + CF,{1 +    +••• + CF„_,(1 + r)+CF„ =

= ^CF,(1 + /')" '    <³)

;=0

Wzór na bieżącą wartość strumienia jednakowych płatności (np. rat płaconych „z dołu”), w którym: CF₀ = 0, CF| = ... = CF_n = R wyraża się

PV = R

l-(l+r)-

(4)

Cl-

1 -(1 + r)-"

(5)

która wyraża aktualną (zdyskontowaną na moment t = 0 ) wartość strumienia jednostkowych płatności, dokonywanych w momentach 1, 2, ..., n, przy stopie procentowej r, możemy zapisać wzór (6) w postaci:

(6)

n I r

PV = Ra

Analogicznie, dla strumienia n jednakowych płatności „z góry”: CFo = CFi = ... = CF_n_ | = = R, CF_n = 0, mamy

PV -Ra

■~ń\ r

P)

gdzie

a

1 - (1 + ry

d

gdzie

d =-

(9)

(10)

(11)

1 + r

Wzór na stopę procentową równoważną stopie rocznej

r_m = {\ +r)^Vm -1

Wartością bieżącą netto inwestycji nazywamy wielkość

CF:

toO + O¹

AFV =

czyli wartość bieżącą strumienia przepływów pieniężnych (CFo, CF,,CF_n).

Wewnętrzna stopa zwrotu inwestycji jest to stopa procentowa, przy której w zakładanym okresie eksploatacji inwestycji zwróci się zainwestowany kapitał, przy założeniu, że przepływy środków pieniężnych są reinwestowane według stopy IRR. Ukazuje, po jakiej stopie procentowej zaktualizowane (zdyskontowane) wydatki będą równać się zaktualizowanym wpływom.

IRR jest zatem stopą procentową r spełniającą równanie

NPV(r) = Yj-4 = °

CF_;

to(i+rt‘    ^<12)

lub równoważne mu równanie algebraiczne stopnia n, na przykład równanie otrzymane przez pomnożenie (12) stronami przez (1 + r)ⁿ.

•    Jednym z wzorów stosowanych do obliczania przybliżonej wartości IRR jest formuła

NPV(r )

r = r + (r -

NPV(¹³>

w której r+ i r są (wyznaczonymi za pomocą prób i błędów) wartościami stopy procentowej, dla których NPV(r_r)^>0i NPV(r_)<0.

*    Za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel można wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu stosując funkcję finansową//?/? o składni

IRR (wartości; wynik)

W miejsce „wartości” wpisuje się tablicę przepływów CF, (z uwzględnieniem znaków) lub adres komórek zawierających teprzepływy. W

stopy zwrotu

miejsce „wynik można wpisać wstępne (standardowo przyjmowane jest OJ ),