60327 skrypt

Liniowa pnooNozA ‘mt hmhjk wadratowa svgnalow siACJONAPr/yot

_Rekurehcyjnp metody noz_Wi_ĄZ<VN,_{A pnnm ctili}

rnoGNOZY

s/Airn binly

Filtr	9(0
modelujący

RYS. 2.9 Modelownnic ntochasiyczncfcyfrowa synic/.a) sygnału y

cyfrowego przetwarzania sygnałów W niniejszym punkcie pokażemy algebraiczne wyprowadzenie tego algorytmu - jako metody rozwiązania problemu prognozy optymalnej w celu wykazania jego lepszych (w stosunku do algorytmu Lcvinsona) właściwości numerycznych (mnii»ic-7a ------

(2.186)

(2.187)

(2.188)

(2.190)

57

co ilustruje rys 2.9, jako że

i iVi² = w;

Zauważmy, żc ta idea cyfrowej syntezy sygnału dotyczy jedynie syntezy ze względu na statystyki 2-go rzędu, nie zaś syntezy ze względu na trajektorię cza sowq. W celu realizacji takiej syntezy sygnału, para met ryzowanego po stronie nadawczej przy użyciu filtru innowacyjnego, w celu jego syntezy po stronic odbiorczej wystarczy przesiać informacje o parametrach tego filtru Umożliwia to redukcję ilości przesyłanej w kanale transmisyjnym informacji, w porównaniu z klasycznym systemem cyfrowej transmisji spróbkowanego po stronie nadaw czej sygnału. Jak wynika z dyskusji dotyczącej algorytmu Levinsona. im węższe jest pasmo parametryzowanego sygnału, tym niższy jest rząd n związanego z nim filtru innowacyjnego, zapewniającego żądaną dokładność parametryzacji, a w konsekwencji tym mniejsza ilość informacji niezbędnej do przesłania w ka nale w celu odtworzenia tego sygnału po stronie odbiorczej. Szczegóły icaliza cji takiego systemu cyfrowej transmisji sygnałów z kompresją ilości przesyłanej informacji będą omówione w rozdziale dotyczącym tzw. filtrów ortogonalnych

Uwaga: Zależność (2.184) może być wykorzystana do tzw. parametrycznej estymacji widmowej gęstości mocy sygnału. W metodzie tej wykorzystuje się odpowiedź impulsową filtru innowacyjnego (2.164). wyznaczaną przez algorytm Le-vinsona, a następnie wylicza się estymator widmowej gęstości sygnału u oparciu o zależność (2.184). Metoda ta została zaimplementowana w Przykładzie 7.1 w rozdziale 7, gdzie zostały pokazane przykładowe wyniki symulacji

2.2.5. Algorytm Schura - wersja algebraiczna

Algorytm Schura (44). opublikowany przez Isaaka Schura w l«U7 i i powiązany z zagadnieniami filtracji optymalnej w końcu lat siedemdziesiątych [ 18], miał (i ma nadal) istotny wpływ na rozwój współczesnej teorii ortogonalnego

56

cif mu

Liniowa prognoza Sredniokwaoratowa sygnałów stacjonarnych

N.ech C oznacza macierz kowariancyjn, sygnału losowego y obserwowaneen na nieskończonym przedziale czasu t = (), i    * erwowanego

c(0) c(—I) _c(-2) c( I) c(0) c( — I) c(2) c(l) c(0)

Mając współczynniki

8

stanowiące rozwiązanie układu równań w przód (2.133) oraz współczynniki

{*>„,= a„,,}iZⁿ0    (2.189)

będące rozwiązaniem układu równań w tył (2.137). przemnóżmy prawostronnie macierz (2.187 > przez, wektory współczynników w przód i w tył rzędu n i n 4-1. uzupełnione zerami; tj..

^an+ 1.0	On.O
^rtn+I.l	«n.l		0 0
^an+\,n-\	^T/i./j- 1		0 0
^an+1 ,n	&n,n		0 0
^(ln+ l.n-f 1	0		0 4i.n+l
0	0		^n+l.nl-2 dn.n+2
0	0		^M-ł-l.n+3 dn.n+y
0	0		dn+ 1 ,n-f4 dntn+Ą

Billi Hf

Rekijrencyjne metody rozwiązania problemu prognozy

fon.n    t)    b_n+\

fon,n—\ bn,n    I .n

fon,\    bn,2    fonĄ-1.2

fon,0    fon,\    fon+1.1

0    b_n,0    bn+ 1.0

0    0    0

0    0    0

0    0    0

k°;t o

o o

0 0 0

gn,n 0    0

8n,n+\ 8n.n £n+l,n+| 8n,n+2 gn,n +1 gn+\,n+2

gn,n+ 3 gnji-t-2 ^n+l.n+3 £n,n+4 gn,n-E3 gnj l.n+4

(2.19!)    |

fon+ I./I+ |			n.O		0
fon+\,n			On, 1		fon.n
fon+1,1	= (.i-pJn)^-ł'		^n.n		fon, 1
^n+1,0		Pn+\C	0	-ł- c	fon, 0
0			0		0
0			0		0
0			0		0

(2.194)

gdzie

Z (2.193), (2.194) i (2.190)- (2.191) wynikają następujące zależności rek uren

cyjne;

8n.n = s/T^ń gn+l.n-| I =    ,-f-l

(2.192)

a wielkość określa (2.153). Zależności (2.190) (2.191) wynikają bezpośrednio z układów równań w przód i w tył, dla prognozy rz.ędu n oraz. n i 1 Wielkości d.₍. oraz g._t. to pewne stałe stanowiące wynik przemnożenia kolejnych wierszy macieizy C(2.I87) przez wektory współczynników, będące roz-wiązaniami problemu prognozy rzędu n oraz. n -f-1 w przód i w tył, i wyrażające się analogicznie jak A™^r[" we wzorze (2.153). Przemnóżmy lewostronnie pizez. macierz. C (2.187) zależność rekurencyjną Levinsona (2.138) dla rozwiązania w przód oraz analogiczną zależność dla rozwiązania w rył po uzupełnieniu zerami wektorów współczynników (podobnie jak w (2.190)—(2.191))

V

£

A,

= (1 -pż+.rł

s/Ę + Pn + |A™7 0

dn,n 1 'I" Pn+ 18n,n dn,n+2 4* Pn+\8n.n+\ ^n,n+3 "I” Pn-\-18n,n ł-2 dn,n+4 4" Pn+

0

(2.195)

^an-\ 1,0

tf/Hl.l

P«+i) ^

	<*n, 0		0
	^Qn.\		fon,n
	^an,n		fon, 1
c	0	4- Pn+\C	fon, 0
	0		0
	0		0
	0		0

(2.193)

•t

= (l-Pn₊.r^ł

gn,n 4- Pn+1 d_n,n+1 gn,n+ I *-pn+ld„,n+2

gn.n+l+Pntldn.n+y

gns+1 4" Pⁿ⁺1 ^ⁿ-ⁿ+*

(2.196)

59

58