78812 strona 2

oznaczają stało dowolne.

PRZYPADEK 2, gdy A = 0. Rozwiązaniem jest y — (Ci H-C₂^)c^I;", ^rz^^u-

jadzie r oznacza rozwiązanie równania charakterystycznego, zaś C\, C₂ Zasada 1. .Jeżeli

'2-giego rzędu. Przedstawiamy także Wnioski J-3. W l.zęsci D zostaną one sformułowane w ogólniejszej postaci dla równań //.-tego

f(x) = W₉{x) • e^px\ gdzie IF₅(.x) oznacza wielomian stopnia s, to całkę szczególną przewidujemy w postaci Z${x) • e^px PRZYPADEK 3, gdy A < 0. Rozwiązaniem jest y = (Ci cos fix -Hub Z_s(x) • x • e^pM lub Z_s(x) * x² • e^/w\ gdzie ^(a:) jest wielomianem

_fr_Sa„/?x') e°^:,: Edzio O- = -f oraz 3 = £5, zaś Oj, C* oznaczają stopnia a. Mianowicie, jeżeli p jcsl fc-krotnym pierwiastkiem równania

,    ; "^} .    ’    , .i. ,    ‘ „    .J"____^_ł.;...^«u_rniCharaktervstye/_Jneeo, to przewidywana całka ma mieć postać ZJx)-

stałe dowolne. (Iwaga. Tutaj liczby zespolone a±io są i oz wiązaniami    ^    ^    ^w

równania charakterystycznego ar- + br + c = 0.)    1 '^C'.    _T ..... ,    ,    . .    ,    _    , .

Zasada 2. Jeżeli f(x) = (a cos ma: 4- 6 sin mx) ■ e/^J\ gdzie a, o, m

-i l(^co' r\ " ¹ <*in r i) «>ra;    oraz p to konkretne liczby, to całkę szczególną przewidujemy w postaci

(A cos mx — £ sin mx) ■ e^px za wyjątkiem przypadku, gdy jednocześnie

A < 0, a — p oraz |/>| — |m|. W takim przypadku należy przewidywać

ją w postaci (A cos mx — B sin rnx) • e^px ■ x.

gdzie ■, to stałe dowolne.

TWIERDZENIE 2. ./cic/i

I^Kcoe^ + ^siu v^2>»

Z) z? =
Al	±1
-2	Z‘)
	**

(cos(v5i - <p₂)

q) — isin(cPi 4- w)) isinipi -y₂))

TWIERDZENIE 3. Niech z ■■ wolnego naturalnego wykładnika n mamy

Zasada 3. Jeżeli }{x) jest. sumą kilku funkcji opisanych w punktach 1 oraz 2. to dla każdej z tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy

.. (cos - • ,>in_r- Wtedy dla do- ^f,a% szczególny, « następnie wszystkie otrzymane całki szczególne su-

ujcm>.

z" — |2|^r,(cosny? + tsinri^)

TWIERDZENIE 4. Istnieje dokładnie dowolnej kczby zespolonej z± 0. Gdy z ■-

n pierwiastków stopnia n: ^: |^|(cos ę?4- 2 sin y>)_f to dane

¥ 4- A •360 n

-ftsin

<p 4- fc-360 n

), gdzie k = 0,1,... ,n

Oto pewne istotne przypadki szczególne Zasad 1 oraz 2.

WNIOSEK 1. Jeżeli f(x) — W_M(x) jest wielomianem stopnia s i jeżeli 0 jest fe-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to całkę szczególną przewidujemy w postaci Z_s(x) • x^k, gdzie Z_s(x) oznacza pewien wielomian stopnia s.

WNIOSEK 2. Jeżeli f{x) = ae^px i jeżeli p jest A> krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to całkę szczególną przewidujemy w postaci Dx^k • e)^,x , gdzie D to pewna nieznana jeszcze liczba.

WNIOSEK 3. Jeżeli J(x) = a cos mx 4- ósinmx, to całkę szczególną przewidujemy w postaci A cos mx 4- B sin mx, za wyjątkiem przypadku, gdy jednocześnie A < 0, o: - 0 oraz ^:,tf| = \m\. Wtedy przewidujemy całkę szczególną w postaci (A cos mx 4- B sin mx) • x~