226 (50)

METODY NUMERYCZNE...

Tak więc w tym szczególnym przypadku układy równań algebraicznych otrzymane w rozważanym wariancie MES i w metodzie różnicowej opartej na trzech punktach, różnią się tylko prawymi stronami. Tej zgodności już nie ma, jeśli a jest różne od stałej lub r ^ 0. Na przykład gdy c jest stałą, to macierz

o

ma postać

0

4 i 0 1 4 L

•    •    1    ...    4    1

0    •    0    ...    I    4

Zajmiemy się oszacowaniem błędu metody. W tym celu skorzystamy z twierdzenia 10.20. Wykazaliśmy wyżej, że forma a (u. v) jest //^-eliptyczna i ciągła. Założenia twierdzenia 10.20 są spełnione, więc oszacowanie błędu metody sprowadza się do określenia wielkości

gdzie Uf_; jest rzutem u na V_k postaci

czyli przedziałami liniową interpolacją funkcji u. Ponieważ

= X J ((D(u-u_k))²+(u-uJ²)dx

to zadanie sprowadza się do oszacowania błędu interpolacyjnego na poszczególnych elementach e,. Dla interpolacji liniowej prawdziwe są następujące nierówności (przy = [*_<f (zob. p. 2.4))

l«-«J ^ h²0²u (=,), \D (u -u*)| < hD-u (i₂)

gdzie śje(x_itx_l+l),j =1,2.

Stąd

III ^ J' ł (A - h²') max \D²u (x)|

Udowodniliśmy następujące twierdzenie: