244 (55)

METODY NUMERYCZNE— ld/2*

Jeszcze ogólna uwaga o konstrukcji układów równań algebraicznych w MES. Układy tc określaliśmy przez funkcje bazowe przestrzeni elementu skończonego. Postępujemy tak, gdy funkcje bazowe dają się łatwo wyznaczyć np. przy podziale na elementy prostokątne. Inaczej postępujemy, gdy wyznaczenie tych funkcji jest uciążliwe, np. przy podziale nieregularnym na różne trójkąty. W tej sytuacji wyznaczamy najpierw układy lokalne równań algebraicznych odpowiadające grupom elementów. Układ globalny odpowiadający zadaniu przybliżonemu powstaje z układów lokalnych. Jest to szczególnie wygodne przy układaniu programu i wprowadzaniu danych dla wyznaczenia rozwiązania przybliżonego (zob. [49], [10H]).

10.3

Metoda elementu skończonego dla zagadnień parabolicznych W tym punkcie pokażemy, jak można wykorzystać MES do przybliżonego rozwiązywania zagadnień parabolicznych. Przedstawimy tzw. metodę wariacyjno--różnicową, która jest połączeniem metod elementu skończonego i różnicowej. Pierwszą metodę stosujemy względem zmiennych przestrzennych x, drugą zaś — względem zmiennej czasowej /.

Postacią wyjściową przy konstrukcji MES dla zagadnień parabolicznych jest równanie wariacyjne. Postać tę otrzymujemy podobnie jak dla zagadnień eliptycznych.

Rozpatrzmy najpierw' zadanie modelowe

Su

~di

— A u

te(0, T]

(10.108)

u(x, 0) = u₀,    u (x, r) = 0, xeo£l, t e [0, T]

gdzie Q jest obszarem ograniczonym W' R² a dQ oznacza jego brzeg. Zakładamy, że zagadnienie (10.108) ma jednoznaczne rozwiązanie klasyczne. W ten sam sposób jak dla zagadnień eliptycznych przekształcamy zadanie (10. JOB) do równania postaci

2

|    (x, f) t* (x) dfi + j D,u (x, I) D₍ v (x) dfi = j /(x, t) v (x) dfi,

ii

n t-i

n

veCI(Q), t 6 (0, T]

Rozszerzając klasę funkcji C-J do przestrzeni wprowadzonej w p. 10.3.2, otrzymujemy postać wariacyjną zagadnienia (10.108).

Wyznaczyć taką funkcję u (x, t), te u (•, 1) e Hq(Q) dla t e (0, T]_t jest ciągła i ma pochodną ciągłą względem t oraz

(■^T * ^u) ⁺ H (^D1^M* ^DI ^y> - (/. »)» ^y e tfi (ft), t € (0, r] _{(10 109)}

(m, t‘) » (u₀, v), veH'o(ft)> t = 0 gdzie (•, •) jest iloczynem skalarnym w L²(£i).

Właśnie ta postać jest wyjściowa przy konstrukcji MES, ogólniej metod Galerkina. Rozpatrzymy najpierw metodę Galcrkina dla ogólnego zadania, które