229 (21)

458 17. Układy wielozaciskowe

Równanie to nazywamy nieokreślonym równaniem admitancyjnym wielobiegunnika. Macierz kwadratowa występująca w równaniu (17.5) nosi nazwę nieokreślonej macierzy admitancyjnej wielobiegunnika. W celu wyznaczenia elementów tej macierzy włączamy idealne źródło napięcia między zacisk k i ziemię oraz uziemiamy wszystkie pozostałe zaciski (rys. 17.4); mamy wówczas

y* = ~    ,    (17.6)

dla wszystkich U, = 0 z wyjątkiem U_t

przy czym i, k = I, 2, n. Wymiar nieokreślonej macierzy admitancyjnej jest równy liczbie jego zacisków.

Zgodnie z uogólnionym I prawem KirchhofTa (por. p. 1.6.1), mamy

/,+/, + ... + /„« 0,    (17.7)

skąd, po wykorzystaniu zależności (17.5), otrzymujemy

O-n+yzi + +y„i)Ui +(yi2+y₂2+ • •• +yn 2)^2 +... +(yi„+y2n+ +ym)U_n = 0.

Równanie to jest spełnione dla dowolnych U_x, U₂, •••, U„ wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy tych napięciach są równe zeru, czyli

yik+y2k+- -+y«k = o, k = i, 2,..., n,    (17.8)

tzn. gdy suma wszystkich elementów każdej kolumny nieokreślonej macierzy admitancyjnej jest równa zeru.

Niech [y_ik]^r oznacza transpozycję macierzy [y_ik], otrzymaną w drodze przestawienia wierszy na miejsce kolumn. Każdy element dowolnie wybranej kolumny macierzy [>',*]^T przedstawimy, zgodnie ze wzorem (17.8), w postaci pomnożonej przez — 1 sumy wszystkich pozostałych elementów odpowiedniego wiersza (wiersz macierzy [y_jk]^T odpowiada kolumnie macierzy [y*]). Wyznacznik otrzymanej w ten sposób macierzy można przedstawić w postaci sumy n — 1 wyznaczników, z których każdy ma dwie jednakowe kolumny, a więc jest równy zeru. Wynika stąd, że wyznacznik det[y_ik]^T = det[y,_k] = 0, co oznacza, że nieokreślona macierz admitan-cyjna jest osobliwa.

Podobna do wzoru (17.8) zależność dotyczy również wierszy. Przypuśćmy, że między zaciskiem k i ziemią jest włączone źródło o napięciu źródłowym U_k, a pozostałe zaciski są rozwarte. Wówczas napięcia względem ziemi wszystkich zacisków są jednakowe i wynoszą U_k, czyli t/_f = U_k, i = 1, 2,.... n. Na podstawie równania (17.5) otrzymujemy zatem

h ~ >’k\ u i+>'k2+...+y*i, U_n ⁼ (y*i +yk2+--.+yjtn) przy czym k = 1,2,..., n. Ponieważ I_k = 0, zaś U_k ± 0, więc

yn +y_k2 + ... + >’*n = 0,    k=\,2,..., n.    (17.9)

Stwierdzamy zatem, że suma elementów każdej kolumny i każdego wiersza nieokreślonej macierzy admitancyjnej wielobiegunnika jest równa zeru. Własność tę wykorzystuje się przy wyznaczaniu nieokreślonej macierzy admitancyjnej.

Przykład. Wyznaczymy nieokreśloną macierz admitancyjną wielobiegunnika z rys. 17.5. Uziemiając zaciski 2 i 3 oraz włączając idealne źródło napięcia U_l między zaciskiem / i ziemią, otrzymujemy układ z rys. 17.6a. Ponieważ f, = 0 oraz. I₂ = gU, = gU,, gdyż opornik G jest zwarty, więc

Pn

= 0,

0

y 2i —

= 9-

Rys. 17.5. Przykład wielobiegunnika o 3 zaciskach

Po uziemieniu zacisków / i 3 oraz po włączeniu idealnego źródła napięcia 17, między zaciskiem 2 i ziemią, otrzymujemy układ z rys. I7.6b. w którym /, = 0. Ponieważ gb\ = 0. więc gałąź ze źródłem prądu zachowuje się. jak gdyby była rozwarta, wobec tego w oporniku G płynie prąd /, = G(7,: mamy

zatem

I,

>'^{12 =} 7T

= 0,

.V: 2 = ■

= G.

Rys. 17.6. Układy służące do wyznaczenia elementów nieokreślonej macierzy admitancyjnej dla

wielobiegunnika z. rys. 17.5

W celu otrzymania macierzy [v,*J wypisujemy wyznaczone elementy w postaci macierzy, a elementy pozostałej kolumny i pozostałego wiersza uzupełniamy w ten sposób, aby suma elementów każdej kolumny i każdego wiersza była równa zeru. W wyniku znajdujemy

/	*>	3
0	0	0
g	G	—g—G
	-G	g + G

przy czym nad macierzą i po jej prawej stronic podano oznaczenia zacisków, którym odpowiadają odpowiednie wiersze i kolumny.