241 2

241

<5.8. Równania algebraiczne

I    przykład można m. in. interpretować tak. że nasze intuicyjne pojęcie „dobrc-

E^^welenia** pierwiastków nic jest wystarczające. Jeśli współczy nniki a, są dane z pełną ^S 'wadno$cią maszynową (w postaci zmiennopozycyjnej), to błąd obliczonej wartości \ _ni0^e być tak duży, jak £=X|(2i i łK-P^M Oóu (zob. § 2.4.1). Z drugiej strony, ? _bł^ _waiiości p(x) jest rówr.y c, to błąd względny pierwiastka mcźe być tak duży, jak Dlatego wskaźnik uwarunkowania pierwiastka równania danego w postaci

jest równy (jc&i pominąć czynnik 1.06)

Y |(2j +1) a_a. i a*| X |(2» + D a_e _ ₍a‘

Wobec tego dla przytoczonego wyżej wielomianu jest

C= 1.35- 10^1J, gdy «= 14.

Jeśli pierwiastkami są liczby    (/■» !, 2.....20), to wskaźnik uwarunkowania

dła każdego z nich jest mniejszy niż 3.83-10*. Dlatego ostatnie równanie sprawia mniej kłopotów' niż poprzednie, chociaż pierwiastki wydrją się lepiej rozdzielone właSnie we wcześniejszym przypadku. Pozorny paradoks wyjaśnia się tak, że rozdzielenie pierwiastków należy rozumieć jako rozdzielenie względne. Dła grupy k pierwiastków rzeczywistych *? <3j <... <«* miarą rozdzielenie może być iloczyn

»- n

t=i

jedi s jest małe, to pierwiastki z tej grupy nie są dobrze rozdzielone. Dla «, = / (»= 1. 2,... ■*** 20) jest j=8.210^-18, natomiast dla <x_t—2^ł-21 (/=!, 2_: .... 20) jest j=1 (nałeży to sprawdzić!), co świadczy o rzeczywiście dobrym rozdzieleniu pierwiastków' w' tym przypadku.

Przykład 6.8.2 podał Wiłkinson [68]. Jego książka zawiera dogłębną analizę zadań numerycznego wyznaczania pierwiastków rówmań algebraicznych. Aby te pierwiastki wyzna-^C2>ć z żądaną dokładnością trze Ki często używać podwójnej precyzji. Jeśli współczynniki Wielomianu p(z)me są pierwotnymi danymi, to częsio lepiej umknąć ich obliczania. Ważnym Preykładem takiej sytuacji jest wyznaczanie wartości własnych macierzy; te wartości są °^Cżywiśc:e zerami pewnego wielomianu charakterystycznego (zob. także przykład 2.4.5).

Prłykiad 6.8.3. Należy obliczyć największy dodatni pierwiastek równania (x-f2)(x³-l)⁶ = 3-iCrV\

^ maszynie z arytmetyką zmiennopozycyjną i siedmioma cyframi ułamkowymi w manty-

nuoieryccae

^U ^'ody