426907383

7

Wykład 1

Ce^Nkt 1 + Ce^Nkt

Stąd

*(*) = N-

Stałą C można wyliczyć z równania x(0) = Nj^.

Przykład 5 (Mechanika)

Zachowanie N cząstek w przestrzeni R³ opisują równania Newtona:

mx = F(t,x,x), tzn.    (1.4)

rriiii = Fi(t,x,x).    (1.5)

gdzie x = (aą,... ,ijv) € R^3N, X{ 6 R³ oznacza położenie i-tej cząstki, zaś m, - jej masę.

F jest siłą, zadaną np. przez energię potencjalną:

= = (1.6)

U oznacza potencjał, który może mieć różną postać w zależności od rozpatrywanej sytuacji,

np.:

rriirrij

- potencjał Newtona.

Zbiór R^3N nazywamy przestrzenią konfiguracyjną, natomiast zbiór {(x,i:)} - przestrzenią fazową. Przez dołączenie współrzędnej czasu, otrzymujemy {(t, #)} - rozszerzoną przestrzeń konfiguracyjną oraz {(t, x, i)} - rozszerzoną przestrzeń fazową.

Przykład 6 (Pojedyncza cząstka w polu grawitacyjnym)

Zachowanie cząstki pod wpływem sił grawitacji opisane jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu:

mx = —mg.    (1.7)

Symbol g oznacza przyspieszenie ziemskie. Aby rozwiązać powyższe równanie, zastępujemy je układem dwu równań pierwszego rzędu, poprzez wprowadzenie nowej zmiennej v (oznaczającej prędkość cząstki):

J x = v \ mii = —mg.

Otrzymujemy

v = —gt + Ci, x = —g + Cyt + C2-

Stałe Ci, Ca oznaczają odpowiednio prędkość i położenie cząstki w chwili t — 0.

Przykład 7 (Drgania - oscylator harmoniczny)

x — —x    (1.8)

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, wprowadzamy zmienną pomocniczą v i zapisujemy równanie w postaci układu

( x = v 1 v = —x.