242 2

242

6. Równania nUciniowc

sacb to równanie, czyli — w standardowej postaci — równanie

x^,3 + 2x¹²—(12 — 3 • 10“*)xⁿ + ... + 2»=0.

jest zapamiętane jako

x¹³+2x¹²—12.00000x^{ł 1} +... +2=0.

Wobec tego maszyna ma do czynienia z równaniem (x+2) (x²-1)⁶=0, którego pierwsi kiem dodatnim jest dokładnie I. (Bardziej skomplikowane współczynniki powodowałyby zapewne duże błędy także w rozwiązywaniu równania).

Jest to zły wynik. Szukany pierwiastek można obliczyć z pełną maszynową dokładnością, pisząc równanie w postaci

1    /3x^lx\^1,s

x = 14----1-)

10(x+lj\x+2/

i rozwiązując je iteracyjnie. Jeśli x₀= 1, to x, = 1.05. Ciąg {x_k} jest rosnący, skąd a> 1.05. Tak więc błąd względny pierwiastka otrzymanego ze standardowej postaci wielomianu przekracza 5 %.

Zadania

1.    Dany jest wielomian

p(z)~a_Qzⁿ+a_xz*~^l + ...+a_n    (a₀# 0)

0    współczynnikach rzeczywistych.

(a)    Podać liczbę dodawań i mnożeń (rzeczywistych) potrzebnych do obliczenia wartości p{z) za pomocą dzielenia syntetycznegop(z) przez z—z_Q> gdy z₀ jest (1) liczbą rzeczywistą, (2) liczbą zespoloną.

(b)    Dla zespolonego z₀ = x₀ +y₀i wartość p(z₀) można również obliczyć, wykonując dzielenie syntetyczne

P(z)=$(z)d(2) + r₀r+r,

z dzielnikiem

d(z)=*(z-z₀) (z-ź₀)=z²-2x₀z+xl+yl

1    ilorazem

q(z)—b₀z^r'~* + b₁ć^,~^s + ...+b_n_₂.

Zbudować schemat obliczeń i ustalić liczbę niezbędnych dodawań i mnożeń. Pokazać także, jak oblicza się p'(z₀).

2.    Wyznaczyć wszystkie pierwiastki równań

(a) 2r³-f 21r^J—26z—240=0,    (b) 2z³-2lz²-lOz-210=0.

Obliczenia wykonywać z sześcioma cyframi ułamkowymi, np. na kalkulatorze kieszon^ wym.