262 (47)

metody numeryczne... io/262

W ostatnich latach algorytmowi George’a poświęcono wiele prac, zawierających jego uogólnienia, modyfikacje itp. Zainteresowanym Czytelnikom polecamy prace [16], [39].

10.4.6

Uogólnione iieracyjne metody Czebyszewa

W tym punkcie będziemy zajmować się iteracyjnymi metodami rozwiązywania układów równań algebraicznych powstałych w metodach różnicowych i elementu skończonego dla zagadnień różniczkowych liniowych. Dokładniej będziemy rozważać pewną klasę metod, którą nazywamy uogólnionymi metodami Czebyszewa (por. p. 6.8.3). Najpierw kilka wstępnych informacji o metodach iteracyj-nych (por. p. 6.8). Rozpatrujemy układ równań algebraicznych

Ay = /    (10.129)

Będziemy go traktować jako równanie operatorowe dane w przestrzeni Hilberta li 7. iloczynem skalarnym (•, •) i normą |H|. Określenie metody iteracyjnej dla równania (10.129) to podanie rekurcncyjnego wzoru

/^+I = %(/,/-',(io.i30)

gdzie tp_k jest daną funkcją, pozwalającego obliczyć ciąg {>*} przybliżeń y.

Metoda iteracyjna (10.130) jest zbieżna, gdy y^k -*■ y w przyjętej normie przy k oo. Zwykle przyjmuje się, że funkcja <?_k jest liniowa względem y^k~^l (dla zadania liniowego) oraz że rozwiązanie y równania (10.129) jest punktem stałym przekształcenia <p_k.

Wzór (10.130) określa m-punktową metodę iieracyjną. W praktyce stosuje się na ogół tylko metody jedno- i dwupunktowe ze względu na obciążenie pamięci maszyny.

Rozpatrzymy metodę jednopunktową dla zadania (10.129) postaci

B_kf" =    * = 0, 1.2....    (10.131)

gdzie B_k jest odwracalnym operatorem liniowym w przestrzeni H, a a_t jest parametrem iteracyjnym. Za przybliżenie początkowe y° można wziąć dowolny element z przestrzeni H.

Każda liniowa metoda iteracyjna jednopunktową daje się zapisać w postaci (10.131). Znane metody są jej szczególnymi przypadkami (por. p. 6.8), np. gdy B_k = E, a_k — a, otrzymujemy metodę Richard son a. Dla macierzy A - A* > 0 optymalna wartość parametru itcracyjnego a_op - 2/(2+;.), gdzie 2, 2 są odpowiednio najmniejsza i największą wartością własną macierzy A.

Będziemy dalej zakładać, że B_k w metodzie (10.131) nic zależy od k, tj. B, =B. Metodę iteracyjną (10.131) będziemy nazywać cykliczną z cyklem zawierającym m iteracji, gdy

^xpm +-k+1 = ^an u k = 0, ..., m— 1, p = 0,1, 2, ...

Zbadanie zbieżności metod (10.131) sprowadza się do ustalenia czy wartości własne operatora (macierzy) przejścia w cyklu (jego postać jest wypisana dalej)