264 (46)

MBIODY NUMERYCZNE-

Wyznaczmy w przestrzeni H_B operator przejścia metody (10.133). Niech z^k = — y. Podstawiając v* = z^k+y do (10.133) mamy Bc^fc+1 = Bć-_ftjt+l Az^k

Mnożąc ostatnie równanie przez 2T‘ '² (pierwiastek z operatora B istnieje, bowiem B = B* > 0, zob. np. książkę [68]) i przyjmując x^k = B'^f2z^k, otrzymujemy

x^k+1 = (E-z_k+lC)x^k, C = B~^l,2AB~^l,i Stąd widać, że operator przejścia w cyklu ma postać

P_m =/ /(£-«. O 1-1

Do określenia metody (10.133) pozostaje ustalić parametry a„ i = 1,..., m. Vi'ybieramv je tak. aby norma operatora P„ była możliwie najmniejsza i oczywiście mniejsza od jedności. Zauważmy, że operator C przekształcający łł w U ma własności

C = C* , ó₀ E ^ C < ó, £

gdzie jŁ* jest operatorem tożsamościowym. Sprawdzamy jc bezpośrednio wykorzystując założenia zawarte w (10.134).

Stąd wynika, że operator przejścia P_m jest samosprzężony i jego wartości własne są równe

Uf

= j J (I-O, A,(C))

1-1

Warunek na wyznaczenie parametrów a,- jest następujący:

J*t

min ||PJ|₂ = min max j[J (1    A,(C))

2₍    a, l

Rozwiązanie tego zadania wymaga znajmości Ż,(C), których na ogół nic znamy. Zakładając znajomość oszacowań A,(C) z dołu i z góry, otrzymujemy nierówność

M

^max |//(1 i _t ,,r

Warunek minimalizacji 0P_m|₂ zastępujemy minimalizacją oszacowania:

m

min max . lfr- ,;.)|    {(io.i35)

m

Sprowadza się on do znalezienia wielomianu PJJ.) = / / (1 — a.-A) o najmniejszej

i - i

normie maksimum w przedziale [<5₀» $i]. Zauważmy, żc P_m(0) = 1. Jest to klasyczne zagadnienie Czebyszewa i jego rozwiązanie wynika z następującego lematu, który podajemy bez dowodu (por. tw. 3.9):