26 (125)

D

Interpretacja geometryczna.

Jeżeli f > 0 w obszarze D, to całka jest równa objętości walca o podstawie D, ograniczonego z góry powierzchnią S o równaniu: z=f(x,y), którego tworzące są równoległe do osi OZ.

Jeżeli f=1 w obszarze D,

to    =|D|(= polu obszaru D).

Twierdzenie 3 (o istnieniu całki podwójnej).

Jeżeli funkcja f:    jest ciągła w obszarze domkniętym D c=IR²,

to f jest całkowalna w tym obszarze.

Twierdzenie 4.

Jeżeli funkcja f: D->$R jest ograniczona i ciągła w obszarze D czW² z wyjątkiem punktów leżących na skończonej ilości krzywych leżących w tym obszarze, w których ma nieciągłość I rodzaju, to f jest całkowalna w obszarze D.

Własności całki podwójnej.

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w obszarze D, to:

1. (liniowość całki) JJ(^f + )dc> = X JJfda + p JJgda, A,, p e $K.

D

D

D

2. [V(x,y)eD: f(x,y)>g(x,y)] => Jj/dcr> Jjgdcr

D

D

D

D

4. (addytywność całki względem obszaru całkowania)

(d = D₁ u D₂ ADfnD°) = 0)=> JJfda ⁼ JJfdc^ + JJ fd cr.

D    Di    D2

5. (twierdzenie o wartości średniej) f e C(D) =>    3P₀ e D :    JJfda = r(P₀ )|D|

d

26 MAT2 Mechatronika Jan Nawrocki