327 (21)

536

2.1. Równanie różniczkowe tarczy wirnikowej Równanie równowagi wycinka tarczy (rys. XIV.2) ma postać: dC+dR, = dR_m + 2dT sin

536

Rys. XIV.l Naprężenia, deformacje i siły w tarczy wirującej

Pisząc sin(d<p) = dtp znajdujemy

dC+dR, = dR_w + dTd(p.    (XIV. 1)

Siła odśrodkowa wycinka tarczy

dC - dm rm² = (Qrd(pydr)rio²,

dC = Qyr²(o²drdę.    jjj

Istniejące naprężenia promieniowe a, oraz (<r_r + do_r) wywołują siły działające na promieniu wewnętrznym wycinka

(2)

dR_w = a,yrdq>

i na promieniu zewnętrznym

dR_t = (ff_r + </<r_r)-(.v + rfy)‘(r + (/r)-d<p.

Z pominięciem iloczynów pochodnych otrzymujemy

tiR, — (a_tydr + a_trdy + ryda, + a,yr)d<p.    My

W kierunku obwodowym (tangencjalnym) działa na wycinek siła

dT m o,ydr.    (4)

Podstawiając (1), (2), (3) i (4) do (XIV.1) otrzymujemy

Qyr²u)³dr'd<p + (o_ryr + o_rydr + o_trdy+rydo_t)d<p — o,yr-d<p + o,ydr-d<p.

Dzieląc obustronnie przez dip-ydr znajdujemy po uporządkowaniu równanie różniczkowe

do.    r dy    i j «

r—+«?.-• —+ <x_r—<r, + eurr² = 0 dr    y dr

(XIV.2)

zawierające cztery zmienne: o_r, o, oraz y, r.

Ze współdziałania naprężeń o,, o_r wynikają zgodnie z prawem Hookh'a wydłużenia względne w kierunku obwodowym

«l “ g(*.-^V*er)

(X1V.3)

i w kierunku promieniowym

Wiążą się one z deformacją tarczy w kierunku obwodowym

27r(r+{)-2jrr    £

fi B ■ ■ ....... '    BK —

2nr    r

(XI V.4)

(XI V.5)

i promieniowym

^dA

dr

(XI V.6)

Podstawiając (XIV.5) do (XIV.3) otrzymamy

(XI V.7)

a po zróżniczkowaniu względem dr

di d_

dr " dr

E

r (do,    do.\ 1    i