329 2

329

8.2. Metoda Eulera z ekstrapolacją iterowaną Richardsona

Rozwiązani p*2yWte°n* tworzymy najpicn\' dla h = 0.2, następnie dla h =0.1 i porównujemy wyniki z rozwiązaniem dokładnym >•{ *)=e?:

	}<*•)	>'«	0.2 A/.	błąd	yn	A~0.1 hfr	błąd
	1.000	1.000	0 200	0.000	1.000	0 '00	0.000
0.1	1.105				1.100	0 110	-0.005
0 2	1.221	1.200	0.240	- 0.021	1.210	0.121	-0.011
0.3	1.350				1.331	0.133	-aoi9
04	1.492	1.4-40	0.288	- 0.052	1.464	0.146	-0.028
0.5	1.649				1.610	0.161	-0.039
0.6	1.822	1.723		— 0.004	1.771		-0.051

Błąd. iak się wydaje, jest w przybliżeniu proporcjonalny do h. Widzimy też, te błąd rośnie wraz z .v.

Słabością metody Eulera jest to. źc dla uzyskania sensownej dokładności trzeba wybierać bardzo małą długość kroku. Poniższe twierdzenie uzasadnia teoretycznie użycie ekstrapolacji i terowanej Richardsona w połączeniu z metodą Eulera. Twierdzenie to i pewne podobne wyniki wspomniane dalej są szczególnymi przypadkami twierdzenia Stettera f 125], str. 25.

Twierdzono- 8.2.1. Niech y(x. h) oznacza wynik zastosowana metody Eulera z długością kroku h do równania różniczkowego (8.1.2). Wtedy

y(x. hy*=y(x)+c_l(x)h-rC₂(x)h*+...+c_/jx)h^r~0(h^,,+ '),

Pozwala to wykorzystywać ekstrapolację iterowaną Richardsona zgodnie z (7.2.12) dla

Pt=k.

Zauważmy, te powyższe rozwinięcie zawiera również nieparzyste potęgi h. Dlatego nagłówka w schemacie ekstrapolacji (7.2.13) są równe

d.jj, -A,    ...

^    ^łąd zaokrąglenia wartości >‘(x, h) ma moduł nie większy od n, to wynikający

W błąd wartości ekstrapolowancj nie przewyższa 8.26&. bl 1 ^{1 V,0}^^u ^^dzenia 82.1 nie podajemy. Jest ono związane z podobnym rozwinięciem u okainego przybliżenia pochodnej, na którvm opiera się metoda. Z wzoru Taylora cynika, że

. h ,, h² _fti

•-r-->•(•*,)*—ż' (*•>+—y (*.)+..-

^V)VLA,>    Wartość A_l0 w poniższej tablicy oznacza wynik całkowania metodą

krok ^rownania różniczkowego y' = — y z warunkiem początkowym y(0)=* I i długością w,    25 2 otrzymany dla x •■= 1: