380 (7)

Na ogół, w pierwszych krokach procesu iteracyjnego rozwiązującego zadanie wyrównawcze przyjmuje się /-0.0ł-K).1, g = 2. Wartości parametrów sterujących (/. g) powinny być jednak dobierane doświadczalnie. Na przykład, źle dobrana wartość i (ale także i g) zwiększa liczbę kroków procesu iteracyjnego rozwiązującego odporne zadanie wyrównawcze. Przebieg duńskiej funkcji tłumienia przedstawia rys. 8.5.

Rys. 8.5. Duńska funkcja tłumienia

8.3. Algorytm wyrównania odpornego (zmodyfikowana metoda NK)

Ekwiwalentne zadanie wyrównawcze

Zadanie wyrównawcze z zastosowaniem uodpornionej na błędy grube metody najmniejszych kwadratów można sformułować w następującej postaci {w nawiązaniu do klasycznego, liniowego zadania wyrównawczego):

model funkcjonalny oryginalny model statystyczny ekwiwalentny model statystyczny

V = Ad % +L

C_x„fc - <7,5 Q_x,_lh = cr5 P ¹

(8.10)

C_x„/, = cfoQ_x(<A = cTq P ¹

min{ę(d y ) ~ V^r PV = V ^r[T(V)P 1V}

•h

kryterium wyrównania

= V⁷ [T(V)P] V

gdzie P-T(V)P jest ekwiwalentną macierzą wag (C^,,/,,Q - ekwiwalentna macierz kowariancji i ekwiwalentna macierz kofaktorówj, natomiast T(V) jest następującą diagonalną macierzą tłumienia: 3S0

r^,)

T(V) -

'(v„) i

Korzystając z relacji /;,■ =r(v_f)/>,-, r-- K .... n, ekwiwalentną macierz wag P dla zmiennych niezależnych można przedstawić w postaci:

P = T{V)P =

P\		l(v\)P\
P 2	r.:	l(vz)p2
Pu .

Diagonalne elementy estymatora macierzy kowariancji wektora V, tzn. macierzy

Ćy =m₍5[P~^l-A(A⁷'PA)'^lA⁷']

są kwadratami błędów średnich odpowiednich estymatorów poprawek 0-. Okazuje się jednak, że ze względu na istnienie błędów grubych, nawet w przypadku prawidłowo dobranych wartości wag, można się spodziewać dużych wartości estymatora współczynnika wariancji cTq (gdy nie zastosuje się specjalnych metod odpornej estymacji, zaproponowanych m.in. w pracach Duchnowskikgo (2001) i Wiśniewskiego (1999b)). Wynikające stąd zawyżenie wartości błędów średnich m- może znacząco zakłócić identyfikację obserwacji odstających (wartości standaryzowanych estymatorów poprawek v-vfnt;. będą zaniżane). W celu uniknięcia tej niedogodności można zaproponować, oprócz teoretycznych rozwiązań przedstawionych w ww, pracach, rozwiązanie uproszczone, polegające na przyjęciu oceny współczynnika wariancji zgodnej z jej teoretyczną wartością dla przypadku, gdy P = C~j_/}. Przyjmując zatem - l, zastępujemy macierz kowariancji Cy macierzą Ćy_(j|( = P“^l - A(A⁷ PA)^-1 A^r. Należy przy tym zdawać sobie sprawę, że jest to rozwiązanie uzasadnione tylko wtedy, gdy wartości wag są prawidłowe (ze względu na przyjętą relację P~C~^ ). Wobec takich założeń, wystę-

\

pujące w funkcjach tłumienia t{vj) standaryzowane poprawki można w praktyce zastępować ich standaryzowanymi estymatorami o postaci

(8.11)

381

i -

"■'V