399 2

399

9.2. Podstawowe wzory i twierdzenia analizy Fouriera

_z (9.2.9) wynika, U

dj^Cj+c.j, bj = i(cj-c-j), c_k+ i=ła_fc+i. pod£i»e dwa wyrażenia dla funkcji f{x) są równoważne, gdyż

k+tf    *

j c_i^»tf₀+ £ [cj(cosjx + isinjx)+c_/cosjx-isin;x);j + 0c_ł+, cos(k + l)x= J*-*

i

=-c₀ + £ (a^ cosjx + ó_; sinyx)+Ą0a_k+l cos(A: + l)x.

;=■ i

Funkcja /(x) jest na siatce identyczna z funkcją

(9.2.10)    /*(*> = I

J-o

gdyż

cxp( - i (A* 4-1 -j) x_a) = cxp(te).    c_j=c_M+l-j.

Funkcje/i/* poza siatką me ?ą jednak identyczne. Obliczenia niezbędne do stablicowania wartości f*(x) dla x=*2xxJ(M + I) (a= 0. 1,..., M), gdy dane jest rozwinięcie (9.2.8), nazywa się syntezą Fouriera.

9.2.2. Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych rozważa się analogicznie, uwzględniając po prostu tylko jedną zmienną na raz. Jako przykład rozważmy dwie zmienne w przypadku dyskretnym. Niech będzie

2na    2n0

^X**7f+V

¹    że śą znane wartości /(*„ v*) dla a=0, 1, .... M i 0=0, 1, .... N. Przyjmijmy,

że

M

c(J, y_$) = (M -r 1)“¹ y /(x,. ») exp( - ijx,),

a“0

t>=(A'+l) ¹ V c(j. >V^e*P(-**>’#)■

e-o

twierdzenia 9.2.4 (po oczywistych zmianach oznaczeń) wynika, że

u

c(j,y₀)= Z c_ikexp{iky_$)_t

S    UH

Z ^cC/>F*)e*P(te)“ £ I c,_kexp(i/x,-M*y_#).

j-0    i-o k-0

.

yższe rozwinięcie ma duże znaczenie, np. w krystalografii.