397 2

397

9.2. Podstawowe wzory t twierdzenia analizy Fouriera

9.2.2. Analiza Fouriera w przypadku ciągłym. Każdej funkcji f prze-^cu\gki ⁰ okresie 2»t można przyporządkować szereg Fouriera postaci

<*>

\a<i 4- £ {a,eos fx 4- frysinyx),

I

J=-tr>

Współczynniki a_y> b_y i c_y można obliczać za pomocą wzorów (9.2.5) / (9.2.6) w pierwszym przypadku oraz (9.2,2) w drugim. Jeśli funkcja f i jej pierwsza pochodna są wszędzie ciągłe, to szereg jest wszędzie zbieżny dof(x). Funkcje f i f mogą mieć skończenie wiele nieciągłości g każdym okresie. W razie takiej nieciągłości szereg daje średnią arytmetyczną granic lewostronnej i prawostronnej w odpowiednim punkcie. Sumy częściowe powyższych rozwinięć są najlepszym przybliżeniem funkcji f (x) wielomianami trygonometrycznymi w sensie aproksymacji średniokwadratowęj.

Dowód zbieżności szeregu pomijamy w tej książce (zob. jednak początek § 9.4. a także PI). Pozostałe fragmenty twierdzenia wynikają z wykonanych uprzednio obliczeń (w twierdzeniu 9.2.1 i następujących po nim komentarzach); zob. również dowód twierdzenia 4.15.

Twirrdzhmf. 9.2.3. Jeśli f jest funkcją parzystą, tzn. jeśli/(x)=/( -.y) dla każdego x, to b; “0 dla każdego j, czyli szereg Fouriera jest szeregiem cosinusów.

Jeśii j jest Junkcją nieparzystą, tzn. jeśli f{x)=-fi—x) dla każdego x, to tij- 0 dla każdego j, czyli szereg Fouriera jest szeregiem sinusów.

Dowód (w którym używa się wzorów (9.2,5) i (9.2.6)) pozostawiamy jako ćwiczenie dla czytelnika.

Przykład 9.2.!. Rozwinięcie Fouriera izw. fali prostokątnej

J-!    (-n<x<0).

^;    ( I (0<x<n).

przedłużamy funkcję /(*) okresowo poza przedział {-rc, it) (zob. rys. 9.2.1). Ponieważ 2 .jest funkcją nieparzystą, więc aj—O dla każdego j. Mamy

0    z    ■

bj— — it^-1 jsin/xdx — n:"¹ f sinjxrfx = 2tt"¹ Jsin./.Y«fx =

-K    b    o

K ^fcssśJ*,

j 1—0 nieparzyste).

Stąd    '    ^

f(x)=—t>in z+i sin 3x 4-$ sin 5x -t ...). iz