Podstawowe wzory algebry i analizy wektorowej

Podstawowe wzory algebry i analizy wektorowej

Tożsamości algebraiczne:

A +B = B +A,

A-B-BA,

A x B = —B x A,

(A + B)C-=AC+BC,

(A + B)xC = AxC+BxC,

A(BxC) = B(CxA) = C-(AxB),

A x (B x C) = (A • C) B — (A • B) C,

(A x B)• (C x D) =(A • C)(B • D)-(B • C)(A • D).

Tożsamości różniczkowe:

grad (u + v)=grud u + grad v, div(A + B) = divA + divB, rot (A + B) = rot A -f rot B _t grad (u u) = u grad o+v grad u, div(uA)*=udivA +A-gradu, rot (u A) = u rot A — A x grad u, div(Ax B)«=Brot A-A-rotB, rot rot A = graddivA-V²A, rot grad u = 0, div rot A=0.

Wersory w układzie współrzędnych prostokątnych (a), w układzie współrzędnych walcowych (b) oraz w układzie współrzędnych kulistych (c)

Tożsamości całkowe:

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskicgo

j A-dS*= J divAdu;

S(r)    c

Twierdzenie Slokcsa

j A-dI*= J rot A-dS; C(S)    s

Operatory różniczkowe w układzie współrzędnych prostokątnych x, y_t r.

du du du gradu-l,_+l,

■TOt AI

dA,	■3	dAt + —— »
dx	dy	dz
\ (	1 ta X		(dA,	dA;
M	&	dz) ^+h'	{dz	a*.

d⁷u <.d⁷u . .d²u

Vu~divgr«du=_₂+^₊^,

divA = -—-

V²A = 1, V²A_x + l_rV⁷A,+ l_x ^A_t.

Operatory różniczkowe w układzie współrzędnych walcowych r, 0, z:

OU

grad u = l_f~—1* 1,--— +1,

dr

1 du du

“7

_A 1 d(rA,) , 1 dA, _f dA_t

divA =---—+--—+ ——

r dr r 86 dz

\r dO dz J \ dz dr J r \ dr dO) ₂    1 :d ( du\ 1 d⁷u. d⁷u

^v“-7Fr(^ra7j⁺7aF⁺a?--

Operatory różniczkowe w układzie współrzędnych kulistych r, 0, t/r.

„ du    1 du    1 du

gradu-=l_r—- + 1,--—--fi-—-- — .

dr    r dO    rsinO dy •

^ ₄    1 d(r²A_r) 1 a(A_#sinO) 1 dA+

rsint? dO rsinO dty

dr

diYA«=——r--h —.-—-+

'rsinO	ao	1
^+,4|	CD I 1	aAri
	dr	aa J

_rotA,₁^r^aJ^L^]_+I,in

rsin0[_ dO dy J r [sm0 dy dr J

-    1 d ( ₂du\ 1 d ( .    a«\    1 d²u

^UC= r⁷ dr\ dr Jr⁷ś\nOdO \ dO )* r² sin⁷ 0 di//⁷