3

Iwjrii iwnii lut. |.i, <•(Isiębioislwa, kierując sit; kryterium maksymalizacji spodziewany! li koi/yścl, jKiwinno zatem wybrać kierunek działania D3, z nim bowiem •fwlą/ana jesl maksymalna s|xxlziewana korzyść w wysokości 325 tys.

Kryterium maksymalizacji spodziewanych korzyści jest uznawane, jak powiedzieliśmy, za najlepsze ze wszystkich kryteriów decydowania w warunkach niepewności. Wcale to jednak nie oznacza, że omawiane kryterium nie budzi żadnych wątpliwości (w przykładzie powyżej wskazuje na decyzję D3 jako optymalną, co nie wszystkich musi przekonywać: przedsiębiorstwo nie uzyska przecież 325 tys. tylko - z określonym prawdopodobieństwem - albo 100 tys., albo 250 tys., albo 600 tys.). Bardzo poważnie zakwestionował je w 1732 r. D. Bemoulli, przedstawiając słynny przykład, zwany w literaturze paradoksem petersburskim¹. Chodzi o grę polegającą na rzutach monetą. Monetę rzucamy tak długo, aż wypadnie orzeł. Jeżeli orzeł po raz pierwszy wypadnie w /z-tym rzucie, to wygrywamy 2ⁿ i gra jest skończona. Warunkiem udziału w tej grze jest postawienie całego swojego majątku M. Zbiór kierunków działania składa się zatem z dwóch możliwości: Di - grać i D2 — nie grać. Zbiór stanów świata jest nieskończony, ale przeliczalny: orzeł może wypaść po raz pierwszy w pierwszym rzucie (Zi = 1), w drugim rzucie (Z2 = 2), w trzecim rzucie (Z3 = 3) ild. Tablica korzyści ma postać następującą:

Spodziewana korzyść dla pierwszego kierunku działania (Di - grać) jest nieskończenie wielka, ponieważ jest sumą o nieskończonej liczbie składników (jedynek):

Ki = 22^j(0,5)'

j-1

a konkretnie

Ki = 2¹ * (0,5)* + 2² * (0,5)² + 2³ * (0,5)³ + ... Ki= 1 +1 + 1 + ...

Pomniejszenie spodziewanej korzyści Ki o wartość majątku M (liczbę skon czoną) daje ciągle liczbę nieskończenie wielką. Tak więc, ponieważ korzyśt dla drugiego kierunku działania (D2 - nie grać) wynosi 0, kryterium maksy malizacji spodziewanych korzyści nakazuje zaryzykować cały swój mająteł i wziąć udział w grze petersburskiej. Nakazuje zatem podjąć decyzję, przet którą przestrzega nas zdrowy rozsądek i którą zaakceptowałoby tylko niewie le osób.

Można jeszcze zapytać czytelnika, ile dla niego jest warta loteria, na któ rej można wygrać 50 tys. zł z prawdopodobieństwem 0,5 lub stracić 10 tys. 7 również z prawdopodobieństwem 0,5:

p{K = 50 000) = 0,5 p (K = -10 000)= 0,5

Innymi słowy, ile czytelnik byłby skłonny zapłacić za prawo udziału w takiej loterii. Można zasadnie przypuszczać, że byłaby to kwota niewielka, a wielu pewnie w ogóle nie chciałoby wziąć udziału w przedstawionej loterii: dobrze jest wygrać 50 tys., ale strata 10 tys. może być w konkretnej sytuacji nie do zaakceptowania. Tymczasem dla osoby, która akceptuje i stosuje kryterium maksymalizacji spodziewanych korzyści, loteria ma wartość 20 tys.:

50 000 - 0,5 + (-10 000) * 0,5 = 20 000

i nawet tyle powinna być skłonna zaoferować za prawo udziału w niej.

Powyższe nakazuje przyjrzeć się dokładniej kryterium maksymalizacji spodziewanych korzyści i wskazać między innymi możliwość rozwiania wątpliwości, zgłaszanych pod jego adresem, a to poprzez uwzględnienie postawy decydenta wobec ryzyka (potencjalnego niebezpieczeństwa, możliwej straty itp.) i przejście od kryterium maksymalizacji spodziewanych korzyści do kryterium maksymalizacji spodziewanych użyteczności. W tym

1

Zob. na przykład W. Sadowski, Decyzje i prognozy, Warszawa 1981.