459 2

459

Rozdział 3

(c) (1--X²)~^lł2a“l +!** +J*⁴*■£«**■*■■*• Szacujemy resztę z góry za pomocą szeregu tycznego z pierwszym składnikiem l** i ilorazem x²:

_U 3x⁴    m-to.’^4, (|xl<0.107),

^{1 T} 8(l-x²) to.5-10'⁶ (jxf<0.034).

2,    (Zob. tablicę 3.1.2 niezbędnych rozwinięć).

(cosx)^ia=(l -x^z/2+x*/4!+0(x*))^l,2 = l-łx²-±x^Ą+0(x⁶),

exp((cosx)^,;2) = cxp( 1) cxp(-Jx²-^x⁴4-0(x⁶)) = e( I -}x² -h±x*) 4- 0(x⁶),

₍l_+xV^t/a = l-W+lx*+0{x*).

Stąd

exp((cosx)¹'²)/(l-fxV^;i = ^M->² + _iLx⁴)(l ->*4-|jcVO(x⁶)«

=e(l-! x^z)+gex*+0(x⁶).

Szacujemy błąd za pomocą pierwszego odrzuconego składnika: x =0.1 =>|K_r|wJ|ex⁴«1.4-IO"*. x=0.0l => |*_r|*l 4 l0"^g.

3.    (Zob. tcżprzykład 3.1.11). (a) 2.704815;    (b) 0.003334445.

(i +*)/(i-y)=1-2 => y=A-

Odpowiedź: In 1.2=0.1823215. Użyto trzech składników szeregu, a do oszacowania błędu - pierwszego odrzuconego składnika ()y⁷). Stosując szereg dla lo (1 4- >>), trzeba by użyć dziewięciu składników.

5.    Odpowiedź: 0.09975.

Wskazówka. Rozwinąć funkcję podcałkową w szereg potęgow>' względem 0.1 sin t\ z dostateczną dokładnością sin i można zmienić na /.

6.    ;.•=*—x*4-3x⁵ + 0(x⁷). Cj =0 dla j parzystych, gdyż y(-x)= ->(*) dla wszystkich ^x 2 otoczenia zera.

7. Funkcja podcałkowa=x ^3,’²(l    =x * ⁵—

1.9980

V1Ó

Całka =

o.s _x-₂.s _x-*.s ~ ~5~⁺    12 ‘

0.5

L-ł ł , 3..-5.S ^T§*

0.6318

Zbieżność szeregu wynika z kryterium Leibniza. Stąd

+ l + ^«ł-i)+(^« + 3 +«•♦■*)

Ponieważ |«_i+2|^|cj_+ł|, więc sgn (^_+ł-r<2_/_₂)=sgn Korzystamy stąd dla j = n, ^Rt>2> n f 4, ... Liczby <ą,*_Ł,    ₃, ... mają jednak ten sam znak. Dlatego wszystkie sumy

J ^aaw'²*ach mają taki sam znak jak ₁ i sgn i?„=sgn a„+_L- Jest tak dla wszystkich n. ■^•eniając n na n 4-1, otrzymujemy

sgni?₍,₊₁=sgna_B^₂a= -sgn/?_a.

^^rdzenie 3.1.4 wynika więc z twierdzenia 3.1.3.